[论文解读] Decomposition of Nonlinear Dynamical Systems Using Koopman Gramians

Zhiyuan Liu, Soumya Kundu+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于Koopman Gramian的数据驱动分解方法，用于非线性动力系统，利用输入-Koopman算子与深度动态模态分解，即使在存在混合项的情况下也能学习输入-状态可分的Koopman表示。关键贡献是一种非线性分解算法，通过最大化子系统可观测性与扰动抑制能力来优化性能，并在IEEE 39节点电力系统上得到验证，多步预测误差低于0.4%，且可控性与可观测性聚类保持平衡。

ABSTRACT

In this paper we propose a new Koopman operator approach to the decomposition of nonlinear dynamical systems using Koopman Gramians. We introduce the notion of an input-Koopman operator, and show how input-Koopman operators can be used to cast a nonlinear system into the classical state-space form, and identify conditions under which input and state observable functions are well separated. We then extend an existing method of dynamic mode decomposition for learning Koopman operators from data known as deep dynamic mode decomposition to systems with controls or disturbances. We illustrate the accuracy of the method in learning an input-state separable Koopman operator for an example system, even when the underlying system exhibits mixed state-input terms. We next introduce a nonlinear decomposition algorithm, based on Koopman Gramians, that maximizes internal subsystem observability and disturbance rejection from unwanted noise from other subsystems. We derive a relaxation based on Koopman Gramians and multi-way partitioning for the resulting NP-hard decomposition problem. We lastly illustrate the proposed algorithm with the swing dynamics for an IEEE 39-bus system.

研究动机与目标

• 开发一种系统化、数据驱动的方法，将复杂非线性动力系统分解为子系统，以提升分布式控制性能。
• 解决在大型系统中缺乏系统性分解准则的问题，尤其在基于工程直觉不足的临时或信息物理网络中。
• 通过基于Koopman Gramian的优化框架，最大化子系统内部可观测性与对外部干扰的鲁棒性。
• 将深度动态模态分解扩展至含控制的系统，实现从数据中学习输入-状态可分的Koopman算子。
• 提出一种基于松弛的可扩展方法，利用多路划分与Koopman Gramian解决NP难的分解问题。

提出的方法

• 引入输入-Koopman算子，用于建模非线性系统中可观测量的演化，实现升维线性表示。
• 使用TensorFlow中的20宽、10层残差网络（ResNet）与ELU/Dropout层，基于IEEE 39节点系统100条随机轨迹学习Koopman算子。
• 从学习到的输入-Koopman算子推导Koopman Gramian，以量化子系统可观测性（$\kappa_o$）与可控性（$\kappa_c$）。
• 设计一种非线性分解算法，通过平衡各聚类间$\kappa_o$与$\kappa_c$，实现内部可观测性最大化与扰动抑制能力增强。
• 应用基于Koopman Gramian与多路划分的松弛技术，求解NP难的分解问题。
• 对$\kappa_o$与$\kappa_c$进行归一化处理，以平衡其量纲差异，实现公平聚类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有混合状态-输入项的非线性系统可被近似为输入-状态可分的Koopman算子？
• RQ2 即使输入与状态项不可分，深度动态模态分解能否准确学习含控制系统的Koopman算子？
• RQ3 如何利用Koopman Gramian定义一种系统化的分解准则，以最大化子系统可观测性与扰动抑制能力？
• RQ4 基于松弛的多路划分算法能否有效利用Koopman基度量解决NP难的分解问题？
• RQ5 与基于空间或连通性的聚类相比，所提出的分解方法在电力系统动力学中的鲁棒性与可观测性表现如何？

主要发现

• 深度动态模态分解方法在IEEE 39节点系统上对未见初始条件的单步预测误差低于0.01%，多步预测误差每时间步低于0.4%。
• 该算法成功识别出发电机的区域聚类，其空间一致性良好，其中发电机6因可控性与可观测性评分较低而被孤立。
• 各聚类间$\kappa_c$最大差异为0.33434，$\kappa_o$最大差异为0.09744，表明子系统性能分布均衡。
• 发电机2表现出高可观测性（$\kappa_o$）但低可控性（$\kappa_c$），表明易受外部干扰，算法通过战略性聚类有效缓解了该问题。
• 所提方法优于基于空间的区域划分，因其聚焦于输入-输出抗扰性与内部可观测性，而非仅物理邻近性。
• 基于Koopman Gramian的分解方法为大规模系统提供了可扩展、数据驱动的子系统划分替代方案，优于启发式或拓扑基方法。