[论文解读] Decomposition of $q$-deformed Fock spaces

Masaki Kashiwara, Tetsuji Miwa+1 more|ArXiv.org|Aug 14, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用 20

一句话总结

本文建立了 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 的一级 $q$-形变 Fock 空间作为 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$-Heisenberg 双模的分解，表明其同构于 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 的一个最高权表示与 Heisenberg 代数 Fock 模的张量积。关键结果是 $q$-楔算符可分解为来自量子仿射代数与 Heisenberg 代数的分量，通过顶点算符与对易关系显式实现。

ABSTRACT

A decomposition of the level-one $q$-deformed Fock representations of $\uqn$ is given. It is found that the action of $\upqn$ on these Fock spaces is centralized by a Heisenberg algebra, which arises from the center of the affine Hecke algebra $\widehat{H}_N$ in the limit $N ightarrow \infty$. The $q$-deformed Fock space is shown to be isomorphic as a $\upqn$-Heisenberg-bimodule to the tensor product of a level-one irreducible highest weight representation of $\upqn$ and the Fock representation of the Heisenberg algebra. The isomorphism is used to decompose the $q$-wedging operators, which are intertwiners between the $q$-deformed Fock spaces, into constituents coming from $\upqn$ and from the Heisenberg algebra.

研究动机与目标

• 将 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 的一级 $q$-形变 Fock 空间分解为不可约分量。
• 识别 Heisenberg 代数在 $q$-形变 Fock 空间上的中心作用，该作用作为仿射 Hecke 代数 $\widehat{H}_N$ 的中心在 $N \to \infty$ 时的极限而出现。
• 将 $q$-楔算符实现为互变子，并将其分解为来自 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 与 Heisenberg 代数的贡献。
• 建立 $q$-形变 Fock 空间与一个最高权表示和 Heisenberg Fock 模的张量积之间的双模同构。

提出的方法

• 通过在张量积的评价模 $V(z) = \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}[z,z^{-1}]$ 上的无限 $q$-楔构造 $q$-形变 Fock 空间。
• 使用生成元 $E_i, F_i, K_i^{\pm 1}$ 及 $q$-Serre 关系与 $q$-形变对易关系，在 $V(z)$ 上定义 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 的作用。
• 引入一个由作用于 Fock 空间的算符 $B_a$ 生成的 Heisenberg 代数，其对易子为 $[B_a, B_{-a}] = a \frac{1 - q^{2na}}{1 - q^{2a}}$。
• 将 $q$-楔互变子 $\Omega'(w)$ 实现为 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$-互变子 $\tilde{\Phi}^*(w)$ 与 Heisenberg 代数的顶点算符 $\Xi(w)$ 的张量积。
• 利用顶点算符的两点函数比较矩阵元，并通过生成函数中系数匹配推导出对易子 $[B_a, B_{-a}]$。
• 利用 $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 的 Hopf 代数结构与 $d$-分次，以在互变子构造中保持次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Heisenberg 代数在 $q$-形变 Fock 空间上作用时，$U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 的作用如何分解？
• RQ2 在 $q$-形变 Fock 空间之间的 $q$-楔互变子的精确结构是什么？
• RQ3 $q$-形变 Fock 空间能否被实现为 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 与 Heisenberg 代数上的双模？
• RQ4 从 $q$-楔互变子中出现的 Heisenberg 生成元 $B_a$ 与 $B_{-a}$ 之间的对易关系是什么？
• RQ5 $q$-楔算符的两点函数如何约束 Heisenberg 代数的结构？

主要发现

• 作为 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$-Heisenberg 双模，$q$-形变 Fock 空间同构于 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 的一个一级不可约最高权表示与 Heisenberg 代数 Fock 模的张量积。
• $q$-楔互变子 $\Omega'(w)$ 分解为 $\tilde{\Phi}^*(w) \otimes \Xi(w)$，其中 $\tilde{\Phi}^*(w)$ 是 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$-互变子，$\Xi(w)$ 是 Heisenberg 代数的顶点算符。
• 通过对顶点算符的两点函数进行比较，显式计算出对易子 $[B_a, B_{-a}] = a \frac{1 - q^{2na}}{1 - q^{2a}}$。
• $q$-楔算符 $\Omega_m(w)$ 的两点函数为 $\frac{1 - w_2/w_1}{1 - q^2 w_2/w_1}$，其与 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 和 Heisenberg 贡献的乘积一致。
• 顶点算符 $\Xi(w)$ 被实现为 $\exp\left(\sum_{b \geq 1} \frac{B_{-b} w^b}{\gamma_b}\right) \exp\left(-\sum_{b \geq 1} \frac{B_b w^{-b}}{\gamma_b}\right)$，其中 $\gamma_b = [B_b, B_{-b}]$。
• 该同构在 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ 与 Heisenberg 代数的作用下保持不变，从而确认了双模结构。