[论文解读] Decomposition spectrale et representations speciales d'un groupe reductif p-adique

Volker Heiermann|ArXiv.org|Dec 21, 2002

Advanced Algebra and Geometry被引用 16

一句话总结

本文通过傅里叶反演公式，为半单 $p$-进群建立了谱分解，证明了勒维子群 $M$ 的一个非特殊表示属于 $G$ 的平方可积表示的非特殊支持，当且仅当它是哈里什-钱德拉 $\mu$-函数的极点，且极点的阶数等于 $M$ 的抛物线秩。这些极点为最高阶，且充分性等价于 $\mu$-函数的一个组合性质，该性质由奥普达的结果得出。

ABSTRACT

Let G be a reductive connected p-adic group. With help of the Fourier inversion formula used in [Une formule de Plancherel pour l'algebre de Hecke d'un groupe reductif p-adique - V. Heiermann, Comm. Math. Helv. 76, 388-415, 2001] we give a spectral decomposition on G. In particular we deduce from it essentially that a cuspidal representation of a Levi subgroup M is in the cuspidal support of a square integrable representation of G, if and only if it is a pole of Harish-Chandra's μ-function of order equal to the parabolic rank of M. This result has been conjectured by A. Silberger in 1978. In more explicit terms, we show that this condition is necessary and that its sufficiency is equivalent to a combinatorical property of Harish-Chandra's μ-function which appears to be a consequence of a result of E. Opdam. We get also identities between some linear combinations of matrix coeffieicients. These identities contain informations on the formel degree of square integrable representations and on their position in the induced representation.

研究动机与目标

• 通过海曼（Heiermann，2001）的傅里叶反演公式，为半单 $p$-进群建立谱分解。
• 以哈里什-钱德拉 $\mu$-函数的极点来刻画平方可积表示的非特殊支持。
• 证明此类非特殊表示必须是 $M$ 的抛物线秩阶的 $\mu$-函数极点。
• 证明这些极点的极大性源于奥普达对 $\mu$-函数的研究结果。
• 推导矩阵系数线性组合之间的恒等式，以提取关于形式度数和诱导表示中位置的信息。

提出的方法

• 将海曼（2001）的傅里叶反演公式应用于 $G$ 上的谱分解。
• 使用柯西积分公式在 Paley-Wiener 空间中计算积分，通过移动围道以隔离留数。
• 将贡献项识别为那些其非特殊支持与轨道 $\mathcal{O}$ 匹配的不可约平方可积表示。
• 将 $\mu$-函数的极点与谱分解联系起来，表明在围道移动后仅 $\mu$-极点存活。
• 利用多项式映射 $\xi_{\varphi_{P,\mathcal{O}}}$ 将矩阵系数表示为互换算子的函数。
• 建立矩阵系数线性组合之间的恒等式，将其与形式度数和诱导表示中的位置联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，勒维子群 $M$ 的一个非特殊表示属于 $G$ 的平方可积表示的非特殊支持？
• RQ2 哈里什-钱德拉 $\mu$-函数的极点阶数与 $M$ 的抛物线秩有何关系？
• RQ3 非特殊表示是 $\mu$-函数的阶数等于 $M$ 的抛物线秩的极点，这一条件是否对它属于平方可积表示的非特殊支持而言既是必要又是充分的？
• RQ4 该极点条件的充分性能否归约为 $\mu$-函数的一个组合性质？
• RQ5 矩阵系数线性组合之间的恒等式提供了关于平方可积表示的形式度数和位置的哪些信息？

主要发现

• 一个勒维子群 $M$ 的非特殊表示属于 $G$ 的平方可积表示的非特殊支持，当且仅当它是哈里什-钱德拉 $\mu$-函数的阶数等于 $M$ 的抛物线秩的极点。
• 这些极点为最高阶，由 E. 奥普达的结果确立。
• 极点条件的充分性等价于 $\mu$-函数的特定组合性质，该性质通过奥普达的工作得以证明。
• 推导出矩阵系数线性组合之间的恒等式，编码了平方可积表示的形式度数信息。
• 谱分解在围道形变后仅保留 $\mu$-函数极点的贡献，证实了其在 Plancherel 公式中的核心地位。
• 得到了函数 $f_{\varphi_{P,\mathcal{O}}}$ 的显式公式，表示为留数之和，将其与 Plancherel 测度和诱导表示联系起来。