[论文解读] Decompositions and residue of meromorphic functions with linear poles in the light of the geometry of cones

Li Guo, Sylvie Paycha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过锥几何导出的内积，对在原点具有线性极点的亚纯芽进行分解，实现了多变量情形下广义分级留数的构造。该留数与内积的选择无关，建立了格点锥上指数离散和与指数积分之间的直接联系，同时支持通过Birkhoff-Hopf分解方法重新推导Berline-Vergne的Euler-Maclaurin公式。

ABSTRACT

Germs of meromorphic functions with linear poles at zero naturally arise in various contexts in mathematics and physics. We provide a decomposition of the algebra of such germs into the holomorphic part and a linear complement by means of an inner product using our results on cones and associated fractions in an essential way. Using this decomposition, we generalize the graded residue on germs of meromorphic functions in one variable to a graded residue on germs of meromorphic fractions in several variables with linear poles at zero and prove that it is independent of the chosen inner product. When this residue is applied to exponential discrete sums on lattice cones, we obtain exponential integrals, giving a first relation between exponential sums and exponential integrals on lattice cones. On the other hand, this decomposition of meromorphic germs also provides a key ingredient in the Birkhoff-Hopf type factorization~\cite{GPZ3} through which we revisited Berline and Vergne's Euler-Maclaurin formula on lattice cones, establishing another relation between exponential sums and integrals.

研究动机与目标

• 利用锥几何将在原点具有线性极点的亚纯函数芽代数分解为全纯部分与补全部分。
• 将单变量情形下的分级留数推广至具有线性极点的多变量有理函数。
• 在多变量情形下建立一个与内积无关的规范留数。
• 通过留数构造，建立格点锥上指数离散和与指数积分之间的联系。
• 将该分解应用于通过Birkhoff-Hopf型分解方法重新推导Berline与Vergne的Euler-Maclaurin公式。

提出的方法

• 利用锥及其关联分式的结果，在具有线性极点的芽空间上定义一个内积。
• 通过该内积的正交投影，将芽代数分解为全纯部分与线性补全部分。
• 基于此分解，定义多变量有理函数上的分级留数。
• 通过锥的几何结构证明该留数与内积选择无关。
• 将该留数应用于格点锥上的指数和，证明其收敛于指数积分。
• 将该分解作为关键工具，用于Birkhoff-Hopf型分解，以重新推导Berline与Vergne在格点锥上的Euler-Maclaurin公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将原点具有线性极点的亚纯芽代数分解为全纯与非全纯部分？
• RQ2 单变量情形下的分级留数能否推广至具有线性极点的多变量有理函数？
• RQ3 该推广后的留数是否与分解中所用内积的选择无关？
• RQ4 格点锥上指数离散和与指数积分之间存在何种关系？
• RQ5 该分解如何促成Berline与Vergne的Euler-Maclaurin公式的全新推导？

主要发现

• 通过锥几何导出的内积，实现了对原点具有线性极点的亚纯芽的分解，得到一个规范的全纯部分与补全部分的分裂。
• 多变量有理函数上的广义分级留数与内积选择无关，体现了其几何本质。
• 留数构造在格点锥上建立了指数离散和与指数积分之间的直接对应关系。
• 该分解是Birkhoff-Hopf型分解中的基础要素，使得在格点锥上重新推导Berline与Vergne的Euler-Maclaurin公式成为可能。
• 该方法提供了一个几何框架，通过留数理论统一了格点锥上的离散与连续求和。