[论文解读] Decompositions of general quantum gates

Mikko Möttönen, Juha J. Vartiainen|ArXiv.org|Apr 14, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用 88

一句话总结

本文提出了一种基于余弦正弦矩阵分解（CSD）的通用n量子比特量子门改进分解方法，将主导阶的 controlled-NOT（CNOT）门数量减少至 $\frac{23}{48}4^n$，为迄今已知最低水平。该方法利用均匀受控门并优化线性量子比特链中的最近邻相互作用，在保持通用性与效率的同时，显著降低电路深度与实验开销。

ABSTRACT

Quantum algorithms may be described by sequences of unitary transformations called quantum gates and measurements applied to the quantum register of n quantum bits, qubits. A collection of quantum gates is called universal if it can be used to construct any n-qubit gate. In 1995, the universality of the set of one-qubit gates and controlled NOT gate was shown by Barenco et al. using QR decomposition of unitary matrices. Almost ten years later the decomposition was improved to include essentially fewer elementary gates. In addition, the cosine-sine matrix decomposition was applied to efficiently implement decompositions of general quantum gates. In this chapter, we review the different types of general gate decompositions and slightly improve the best known gate count for the controlled NOT gates to (23/48)4^n in the leading order. In physical realizations, the interaction strength between the qubits can decrease strongly as a function of their distance. Therefore, we also discuss decompositions with the restriction to nearest-neighbor interactions in a linear chain of qubits.

研究动机与目标

• 减少分解任意n量子比特量子门所需的CNOT门数量，以应对通用量子计算中高昂的资源消耗。
• 在现有分解方法（尤其是QR与NQ分解）的基础上进行改进，同时最小化CNOT门与单量子比特门的数量。
• 在物理约束条件下（如线性架构中的最近邻量子比特相互作用）实现量子电路的高效实现。
• 为局部态准备提供实用框架，实现任意输入态到目标态的变换，且门开销最小化。
• 通过将相互作用限制在最近邻量子比特上，同时保持资源扩展性较低，优化门数量以提升实验可行性。

提出的方法

• 以余弦正弦矩阵分解（CSD）为核心数学工具，递归地将n量子比特酉操作分解为更简单的受控门。
• 采用均匀受控门（UCGs）作为基本构建模块，实现对复杂量子操作的高效分解。
• 应用量子多路复用器（QM）技术以简化门结构，减少所需CNOT门的数量。
• 引入一种改进的门序列，使用 $\tilde{F}^{i-1}_i(U(2))$ 门，通过引入对角校正以保持相位一致性，同时减少门数量。
• 通过递归应用CSD并结合局部门重排，将分解方法适配至线性最近邻架构，以保持相互作用的局域性。
• 采用递归分解策略，每步将非零振幅数量减半，实现门复杂度的指数级降低。

实验结果

研究问题

• RQ1 分解通用n量子比特量子门所需的最少CNOT门数量是多少？
• RQ2 当仅允许最近邻两量子比特相互作用时，如何优化分解过程？
• RQ3 余弦正弦分解（CSD）在CNOT门与单量子比特门数量上是否均优于QR或NQ分解？
• RQ4 局部态准备的最优门数量是多少，即如何将任意输入态高效变换为目标态？
• RQ5 当施加如量子比特连通性等物理约束时，门数量的扩展特性如何？

主要发现

• 本文实现了迄今已知最低的主导阶CNOT门数量 $\frac{23}{48}4^n$，适用于通用n量子比特门分解，优于以往结果。
• 与具有 $O(n^3 4^n)$ 复杂度的QR分解相比，余弦正弦分解（CSD）方法在CNOT门与总门数量上均显著降低。
• 在线性链中仅允许最近邻相互作用时，CNOT门数量增加不足两倍，主导阶达到 $\frac{5}{6}4^n$，对物理实现极为高效。
• 通过结合CSD与量子多路复用器，CNOT门与单量子比特门的总数被最小化，主导阶分别为 $\frac{4^n}{2}$ 个CNOT门与 $\frac{4^n}{2}$ 个单量子比特门。
• 该方法可高效实现局部态准备，使用 $2 \cdot 2^n - 2n - 2$ 个CNOT门与 $2 \cdot 2^n - n - 2$ 个单量子比特门；当输入或目标态为计算基态时，门数量可减半。
• 如表2与表3所示，CSD方法在门效率方面优于QR与NQ分解，在所有 $n \geq 2$ 的情况下均实现了最低的总门数量。