[论文解读] Decycling a Graph by the Removal of a Matching: Characterizations for Special Classes

Fábio Protti, Uéverton S. Souza|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 1

一句话总结

本文研究了匹配-无环图（matching-decyclable graphs）的NP-完全性与识别问题——即在移除一个匹配后变为无环图的图。研究证明了在恰好有两个度为2的顶点的哈密顿立方图中，该问题为NP-完全。同时，通过结构特征刻画，本文为弦图（chordal）和距离-遗传图（distance-hereditary graphs）提供了线性时间识别算法。

ABSTRACT

A graph $G$ is {\em matching-decyclable} if it has a matching $M$ such that $G-M$ is acyclic. Deciding whether $G$ is matching-decyclable is an NP-complete problem even if $G$ is 2-connected, planar, and subcubic. In this work we present results on matching-decyclability in the following classes: Hamiltonian subcubic graphs, chordal graphs, and distance-hereditary graphs. In Hamiltonian subcubic graphs we show that deciding matching-decyclability is NP-complete even if there are exactly two vertices of degree two. For chordal and distance-hereditary graphs, we present characterizations of matching-decyclability that lead to $O(n)$-time recognition algorithms.

研究动机与目标

• 确定在受限图类中判断图是否为匹配-无环图的计算复杂性。
• 通过结构特征刻画弦图与距离-遗传图中的匹配-无环性，以实现高效识别。
• 证明即使在强约束条件下（如2-连通性、平面性、立方度），匹配-无环性仍为NP-完全。
• 为弦图与距离-遗传图设计线性时间识别算法。

提出的方法

• 利用弦图中单纯点（simplicial vertices）与团树（clique trees）的性质，刻画弦图中的匹配-无环性。
• 利用距离-遗传图的结构，特别是其通过悬挂点（pendant）与连接（join）操作的分解方式，推导识别条件。
• 通过从已知的NP-完全问题归约，证明在哈密顿立方图中匹配-无环性为NP-完全，且约束图中恰好有两个度为2的顶点。
• 基于弦图与距离-遗传图特有的树分解与顶点排序性质，设计线性时间算法。
• 利用弦图由长度≥4的弦无环圈刻画、距离-遗传图由诱导路径性质刻画的特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在恰好有两个度为2的顶点的哈密顿立方图中，匹配-无环性是否为NP-完全？
• RQ2 弦图中的匹配-无环性能否通过一组图结构性质来刻画？
• RQ3 距离-遗传图中的匹配-无环性能否在O(n)时间内识别？
• RQ4 弦图与距离-遗传图的哪些结构特征使得匹配-无环性能够高效识别？
• RQ5 匹配-无环性的NP-完全性是否在平面性与立方度等强约束下依然成立？

主要发现

• 在哈密顿立方图中，即使恰好有两个度为2的顶点，匹配-无环性仍为NP-完全。
• 弦图是匹配-无环图，当且仅当其团树与顶点排序满足特定条件。
• 距离-遗传图是匹配-无环图，当且仅当其通过悬挂点与连接操作的分解满足特定结构准则。
• 弦图与距离-遗传图均存在匹配-无环性的线性时间识别算法。
• 结果表明，尽管在更广泛的图类中匹配-无环性为NP-完全，但在弦图与距离-遗传图中该问题仍为可高效解决。