[论文解读] Dedekind sums: a combinatorial-geometric viewpoint

Matthias Beck, Sinai Robins|ArXiv.org|Dec 7, 2001

Advanced Mathematical Theories被引用 3

一句话总结

本文引入傅里叶-狄利克雷和作为广义狄利克雷和的统一组合几何框架，表明它们自然出现在有理多面体的格点计数和分拆函数中。通过生成函数和巴尔维诺克算法，作者证明了在固定维数下，扎吉尔的高维狄利克雷和可多项式时间计算，推广了经典互反律，并统一了多种数论与几何结果。

ABSTRACT

The literature on Dedekind sums is vast. In this expository paper we show that there is a common thread to many generalizations of Dedekind sums, namely through the study of lattice point enumeration of rational polytopes. In particular, there are some natural finite Fourier series which we call Fourier-Dedekind sums, and which form the building blocks of the number of partitions of an integer from a finite set of positive integers. This problem also goes by the name of the `coin exchange problem'. Dedekind sums have enjoyed a resurgence of interest recently, from such diverse fields as topology, number theory, and combinatorial geometry. The Fourier-Dedekind sums we study here include as special cases generalized Dedekind sums studied by Berndt, Carlitz, Grosswald, Knuth, Rademacher, and Zagier. Our interest in these sums stems from the appearance of Dedekind's and Zagier's sums in lattice point count formulas for polytopes. Using some simple generating functions, we show that generalized Dedekind sums are natural ingredients for such formulas. As immediate `geometric' corollaries to our formulas, we obtain and generalize reciprocity laws of Dedekind, Zagier, and Gessel. Finally, we prove a polynomial-time complexity result for Zagier's higher-dimensional Dedekind sums.

研究动机与目标

• 通过有理多面体格点计数的组合几何框架，统一各种狄利克雷和的推广。
• 确立傅里叶-狄利克雷和作为有限个正整数集合的整数分拆函数的基本构建块。
• 将狄利克雷、扎吉尔和盖塞尔的互反律推导并推广为格点生成函数的几何结果。
• 证明在固定维数下，扎吉尔的高维狄利克雷和可多项式时间计算，解决了一个关键的复杂性问题。

提出的方法

• 将傅里叶-狄利克雷和定义为单位根上的有限傅里叶级数：$\sigma_n(a_1,\dots,a_d;a_0) = \frac{1}{a_0}\sum_{\lambda^{a_0}=1} \frac{\lambda^n}{(1-\lambda^{a_1})\cdots(1-\lambda^{a_d})}$，排除奇异项。
• 使用有理多面体的生成函数，将整数分拆的数量表示为系数由傅里叶-狄利克雷和构成的拟多项式。
• 应用巴尔维诺克关于有理生成函数的定理，表明在固定维数下，有理锥的生成函数可多项式时间计算。
• 通过分析生成函数的结构及其在对偶性下的行为，推导互反律，推广经典结果。
• 通过归纳法和有理生成函数的虚拟分解，证明高维狄利克雷和的多项式时间可计算性。
• 将[DR]主定理中亚纯函数的留数与余切函数之和联系起来，从而导出扎吉尔的和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过统一的组合几何框架系统性地统一广义狄利克雷和？
• RQ2 傅里叶-狄利克雷和在有理多面体的格点计数和整数分拆函数中以何种方式自然出现？
• RQ3 狄利克雷和扎吉尔和的经典互反律能否作为生成函数恒等式的几何结果推导出来？
• RQ4 扎吉尔的高维狄利克雷和在固定维数下是否可多项式时间计算？若是，哪些算法工具使其成为可能？
• RQ5 生成函数和虚拟分解在建立格点计数及相关数论函数的复杂度界方面起什么作用？

主要发现

• 傅里叶-狄利克雷和为广义狄利克雷和提供了统一框架，包括贝恩特、卡尔茨、格罗什瓦尔德、克努特、拉德马赫和扎吉尔的和。
• 从有限个正整数集合中对 $n$ 进行整数分拆的数量是一个拟多项式，其系数由傅里叶-狄利克雷和构成。
• 狄利克雷、扎吉尔和盖塞尔的互反律作为格点生成函数恒等式的几何结果被推导出来。
• 在固定维数下，扎吉尔的高维狄利克雷和可多项式时间计算，该结论通过巴尔维诺克算法和对维数的归纳法证明。
• 有理锥的生成函数可虚拟分解为有理函数，其系数可多项式时间计算，从而实现格点计数的高效计算。
• 定义高维狄利克雷和的和 $\sum_{k=1}^{a_0-1} \cot(\pi k a_1 / a_0) \cdots \cot(\pi k a_d / a_0)$ 在固定 $d$ 时可多项式时间计算。