[论文解读] Deep Curve-dependent PDEs for affine rough volatility

Antoine Jacquier, Mugad Oumgari|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

本文提出一种基于深度学习的算法，用于在仿射粗糙随机波动率模型中定价期权，通过将定价问题表述为依赖于曲线的偏微分方程（CPDE），其中解依赖于远期波动率曲线而非完整路径。该方法采用受E、Han和Jentzen启发的深度学习驱动后向格式，高效求解CPDE，为计算成本高昂的蒙特卡洛模拟提供了一种有前景的替代方案，并在准确性和速度方面得到验证。

ABSTRACT

We introduce a new deep-learning based algorithm to evaluate options in affine rough stochastic volatility models. Viewing the pricing function as the solution to a curve-dependent PDE (CPDE), depending on forward curves rather than the whole path of the process, for which we develop a numerical scheme based on deep learning techniques. Numerical simulations suggest that the latter is a promising alternative to classical Monte Carlo simulations.

研究动机与目标

• 开发一种数值高效的替代方法，用于在粗糙随机波动率模型中进行期权定价，替代蒙特卡洛模拟。
• 通过将对完整路径的依赖减少为对前瞻曲线的依赖，解决粗糙波动率模型中路径相关PDE的计算瓶颈。
• 通过路径相关PDE将费曼-卡茨框架扩展至粗糙波动率模型，实现基于PDE的定价方法。
• 设计一种基于深度学习的数值格式，用于求解仿射粗糙局部波动率模型中出现的依赖于曲线的PDE。
• 通过数值模拟验证所提方法，并与经典蒙特卡洛方法进行性能比较。

提出的方法

• 将定价函数重新表述为依赖于曲线的偏微分方程（CPDE）的解，其中状态依赖于远期波动率曲线，而非过程的完整路径。
• 使用时间网格对CPDE进行离散化，并通过带有记忆核的随机微分方程系统进行近似，特别适用于粗糙赫斯顿和粗糙伯格米模型。
• 采用基于深度学习的后向算法，受E、Han和Jentzen方法的启发，无需依赖固定网格即可高效求解高维CPDE。
• 该方法利用布朗运动增量与记忆核之间协方差矩阵的结构，实现对波动率和股票价格过程的高效模拟。
• 算法使用Cholesky分解生成波动率和资产价格动态所需的联合正态增量，确保正确的交叉变差结构。
• 通过Toeplitz矩阵的性质与快速傅里叶变换优化离散化格式，提升计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于深度学习的方法是否能比蒙特卡洛模拟更高效地求解仿射粗糙随机波动率模型中出现的依赖于曲线的PDE？
• RQ2 定价函数在多大程度上可表示为远期波动率曲线的函数，而非过程的完整路径？
• RQ3 所提出的深度学习方案在粗糙波动率模型中与经典蒙特卡洛方法相比，在准确性和速度方面表现如何？
• RQ4 在不同参数设置下，基于深度学习的CPDE求解器的数值稳定性和收敛行为如何？
• RQ5 该方法能否在保留计算效率的同时扩展至包含局部波动率成分？

主要发现

• 所提出的基于深度学习的算法在计算时间显著减少的情况下，实现了与蒙特卡洛模拟相当的期权定价精度。
• 在仿射粗糙波动率模型中，定价函数仅依赖于前瞻性的波动率曲线，而非完整路径，这为使用依赖于曲线的PDE提供了合理性。
• 在数值实验中，该方法表现出强鲁棒性和可扩展性，尤其适用于欧式标准期权。
• 基于深度学习的后向格式使高维CPDE的求解更加高效，且无需预设网格。
• 该算法在速度方面优于标准蒙特卡洛方法，同时保持了具有竞争力的精度，尤其在具有复杂记忆核的模型中表现更优。
• 通过快速傅里叶变换和Toeplitz矩阵结构对离散化格式进行计算优化，显著提升了大规模时间网格下的性能。