[论文解读] Deep factorisation of the stable process III: Radial excursion theory and the point of closest reach

Andreas E. Kyprianou, Víctor M. Hernández Rivero+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 6

一句话总结

本文为 d 维各向同性稳定过程（d ≥ 2）提出了一种新颖的径向位移理论，确定了过程最接近原点的点的精确分布，并推导出新的 n 重波动恒等式。通过底层的马氏再生过程（MAP）的 Lamperti–Kiu 变换与 Wiener–Hopf 分解，本文识别出过程在径向上确界处反射后的平稳分布，并为高维稳定过程提供了完整的 Wiener–Hopf 表示。

ABSTRACT

In this paper, we continue our understanding of the stable process from the perspective of the theory of self-similar Markov processes in the spirit of the recent papers of Kyprianou (2016) and Kyprianou et al. (2017). In particular, we turn our attention to the case of $d$-dimensional isotropic stable process, for $d\geq 2$. Using a completely new approach we consider the distribution of the point of closest reach. This leads us to a number of other substantial new results for this class of stable processes. We engage with a new radial excursion theory, never before used, from which we develop the classical Blumenthal-Getoor-Ray identities for first entry/exit into a ball, cf. Blumenthal et al. (1961), to the setting of $n$-tuple laws. We identify explicitly the stationary distribution of the stable process when reflected in its running radial supremum. Moreover, we provide a representation of the Wiener-Hopf factorisation of the MAP that underlies the stable process through the Lamperti-Kiu transform.

研究动机与目标

• 为 d 维各向同性稳定过程（d ≥ 2）建立最接近原点的点的精确分布，这是关键的几何波动特征。
• 发展一种专用于稳定过程的新径向位移理论，将经典的 Blumenthal–Getoor–Ray 恒等式推广至 n 重分布律。
• 识别稳定过程在径向上确界处反射后的平稳分布。
• 通过 Lamperti–Kiu 变换，为稳定过程底层的 MAP 提供 Wiener–Hopf 分解的显式表示。
• 利用各向同性与径向缩放，将波动恒等式从一维推广至更高维各向同性稳定过程。

提出的方法

• 利用 Lamperti–Kiu 变换将径向过程 |X_t| 表示为 e^{ξ_{φ(t)}}, 其中 ξ 是具有显式 Wiener–Hopf 分解的超几何 Lévy 过程。
• 应用一种基于径向过程运行上确界与下确界的新型径向位移理论，实现对首次通过时间与球体退出时间的分析。
• 利用 Riesz–Bogdan–Żak 变换将角度分量 Θ 与径向过程关联，利用各向同性实现球面对称性。
• 基于新径向位移框架与 q↓0 时的弱收敛性，推导首次进入/退出球体的 n 重分布律。
• 利用 q↓0 时 qU^{(q),-}_x 的收敛性识别平稳测度，将其与单位球面上的表面积测度关联。
• 应用泊松势公式与变量替换（w = Kz）计算平稳分布中归一化常数 c。

实验结果

研究问题

• RQ1 d 维各向同性稳定过程的最接近点的精确分布是什么？
• RQ2 如何利用径向位移理论将经典的 Blumenthal–Getoor–Ray 恒等式推广至高维 n 重分布律？
• RQ3 在径向上确界处反射的稳定过程的平稳分布是什么？
• RQ4 在稳定过程的背景下，如何显式表示底层 MAP 的 Wiener–Hopf 分解？
• RQ5 各向同性在推导 X_t / M_t 沿 t→∞ 的极限分布中起什么作用？

主要发现

• 最接近点的分布通过新径向位移理论刻画，导出首次进入与退出球体的显式波动恒等式。
• 在径向上确界处反射的平稳分布的密度与 |1−|w|²|^{α/2}/|ϕ−w|^{d} 成正比，定义在单位球内，归一化常数涉及 Gamma 函数。
• 在 q↓0 时 qU^{(q),-}_x 的极限中，常数 c 被确定为 c = 2^α Γ((d+α)/2)/Γ((d−α)/2)，确保平稳测度积分为一。
• 当 t→∞ 时，E_{Kx}[f(X_t / M_t)] 的极限被证明收敛于单位球上的积分，其中包含 |1−|w|²|^{α/2} 与泊松核，确认了平稳分布律。
• 通过超几何 Lévy 过程 ξ 的特征指数，显式表示了底层 MAP 的 Wiener–Hopf 分解。
• 证明了平稳分布关于反演变换 w ↦ K w = w/|w|² 是不变的，反映了稳定过程在径向结构中的共形不变性。