[论文解读] Deep-learning based numerical BSDE method for barrier options

Bing Yu, Xiaojing Xing+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于深度学习的数值方法，用于定价障碍期权，通过将带有终端条件和边界条件的PDE重新表述为标准的倒向随机微分方程（BSDE）问题。通过使用布朗运动桥将障碍突破概率嵌入终端条件，该方法利用神经网络近似BSDE中的Z过程，在各种市场条件下均实现了高精度，尤其在使用批量归一化以提升收敛稳定性方面表现优异。

ABSTRACT

As is known, an option price is a solution to a certain partial differential equation (PDE) with terminal conditions (payoff functions). There is a close association between the solution of PDE and the solution of a backward stochastic differential equation (BSDE). We can either solve the PDE to obtain option prices or solve its associated BSDE. Recently a deep learning technique has been applied to solve option prices using the BSDE approach. In this approach, deep learning is used to learn some deterministic functions, which are used in solving the BSDE with terminal conditions. In this paper, we extend the deep-learning technique to solve a PDE with both terminal and boundary conditions. In particular, we will employ the technique to solve barrier options using Brownian motion bridges.

研究动机与目标

• 解决利用机器学习对同时具有终端条件和边界条件的障碍期权进行定价的挑战。
• 将此前仅限于仅含终端条件PDE的基于深度学习的BSDE框架扩展至处理狄利克雷型边界条件。
• 在复杂边界约束下，提升训练神经网络进行期权定价时的收敛性和稳定性。
• 在广泛的市场参数范围内，通过与解析解对比验证该方法的有效性。

提出的方法

• 通过使用布朗运动桥将障碍突破概率纳入，将障碍期权的PDE重新表述为带有终端条件的BSDE。
• 使用神经网络近似BSDE中的Z过程，参数化为θ，并引入时间依赖的批量归一化参数β_{t_i}以稳定训练过程。
• 采用欧拉格式在离散时间步长上对前向过程（X_t）和后向过程（Y_t, Z_t）进行离散化。
• 基于终端条件误差定义损失函数：E[(Y_T - h(X_T))²]，并通过随机梯度下降进行最小化。
• 在每一层或仅在输入层引入批量归一化，以减少协变量偏移并加速收敛。
• 利用概率恒等式（引理2）将涉及障碍事件的条件期望转换为全概率空间上的期望，从而实现可计算的处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于深度学习的BSDE框架能否扩展至求解具有边界条件的PDE，例如障碍期权的PDE？
• RQ2 如何在不使用反射BSDE或惩罚函数的情况下，将障碍期权的边界条件嵌入BSDE的终端条件中？
• RQ3 批量归一化在训练具有复杂边界约束的神经网络进行期权定价时，对提升收敛性和稳定性起到何种作用？
• RQ4 该方法在不同市场条件下的表现与解析解相比如何？

主要发现

• 在100个测试案例中，该方法的平均相对误差低于1%，中位数相对误差为0.39%，第25百分位数误差为0.21%。
• 在高波动率或极端实值/虚值情形下，相对误差从无批量归一化时的超过18%降低至使用批量归一化后的0.65%。
• 仅在输入层应用批量归一化，尽管需要更多迭代次数，但相比逐层批量归一化，总训练时间减少了近3倍（75秒 vs. 200秒）。
• 使用布朗运动桥成功地将边界条件嵌入终端条件，使得无需修改损失函数即可应用标准的深度BSDE框架。
• 该方法在不同到期期限、行权价和波动率范围内均保持鲁棒性，在高维或路径依赖情形下也表现出一致的性能。
• 通过引理2提供了理论依据，确保从条件期望到无条件期望的转换在数学上是严谨且计算上可行的。