[论文解读] Deep learning neural networks for the third-order nonlinear Schrodinger equation: Solitons, breathers, and rogue waves

Zijian Zhou, Zhenya Yan|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2021

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一句话总结

该论文将物理信息神经网络（PINNs）应用于第三类非线性薛定谔方程（Hirota方程）的数据驱动求解，以发现孤立子、呼吸子和 rogue 波解，并利用含噪和无噪孤立子数据识别方程中的未知参数。该方法在解重建和参数发现方面均表现出高精度，即使在2%噪声条件下也展现出鲁棒性和泛化能力，适用于非线性波建模。

ABSTRACT

The third-order nonlinear Schrodinger equation (alias the Hirota equation) is investigated via deep leaning neural networks, which describes the strongly dispersive ion-acoustic wave in plasma and the wave propagation of ultrashort light pulses in optical fibers, as well as broader-banded waves on deep water. In this paper, we use the physics-informed neural networks (PINNs) deep learning method to explore the data-driven solutions (e.g., soliton, breather, and rogue waves) of the Hirota equation when the two types of the unperturbated and unperturbated (a 2% noise) training data are considered. Moreover, we use the PINNs deep learning to study the data-driven discovery of parameters appearing in the Hirota equation with the aid of solitons.

研究动机与目标

• 开发一种深度学习框架，用于发现第三类非线性薛定谔方程的复杂非线性波解——孤立子、呼吸子和 rogue 波。
• 研究物理信息神经网络（PINNs）在从含噪训练数据（2%噪声）中重建 Hirota 方程解时的鲁棒性。
• 利用孤立子解作为训练数据，实现 Hirota 方程中未知物理参数（如色散和非线性系数）的数据驱动发现。
• 在无扰动和有扰动数据上验证 PINN 方法，通过 L² 范数误差和收敛速度评估其精度。

提出的方法

• PINN 框架使用深度神经网络来近似 Hirota 方程的复值解 $ q(x,t) = u(x,t) + iv(x,t) $。
• 损失函数结合了初始和边界条件的数据保真度以及控制 PDE 残差的最小化，通过自动微分实现。
• PDE 残差计算为 $ F(x,t) = iq_t + \alpha(q_{xx} + 2|q|^2 q) + i\beta(q_{xxx} + 6|q|^2 q_x) $，其中 $ F_u $ 和 $ F_v $ 分别来自实部和虚部。
• 网络通过 Adam（20,000 步）和 L-BFGS（50,000 步）联合训练，以最小化 PDE 残差和边界条件的均方误差。
• 在参数发现中，$ \alpha $、$ \beta $、$ \mu $ 和 $ \nu $ 被视为可训练参数，损失函数相应调整以包含未知系数。
• 训练数据包括精确的孤立子解及其在 2% 噪声下的扰动版本，采样于空间和时间域。

实验结果

研究问题

• RQ1 PINNs 能否从有限或含噪数据中准确重建 Hirota 方程的孤立子、呼吸子和 rogue 波解？
• RQ2 训练数据中存在 2% 噪声时，对 PINN 解重建的精度和收敛性有何影响？
• RQ3 PINNs 是否能有效利用仅孤立子解数据发现 Hirota 方程中的未知物理参数（如 $ \alpha $、$ \beta $）？
• RQ4 在不同噪声水平下，PINNs 在重建完整复场 $ q(x,t) $ 及其实部和虚部时的相对性能如何？

主要发现

• 在无噪声条件下，PINN 方法对精确孤立子解的相对 $ \mathbb{L}^2 $-范数误差为 $ 7.0371 \times 10^{-4} $，表明解的精度极高。
• 在训练数据中引入 2% 噪声后，相对 $ \mathbb{L}^2 $-范数误差上升至 $ 9.4420 \times 10^{-4} $，表明对数据扰动具有鲁棒性。
• 在无噪声条件下，对 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 的参数发现误差分别为 $ 3.85 \times 10^{-5} $ 和 $ 7.48 \times 10^{-5} $。
• 在 2% 噪声条件下，$ \alpha $ 和 $ \beta $ 的参数发现误差分别为 $ 3.31 \times 10^{-4} $ 和 $ 2.89 \times 10^{-4} $，表明在数据污染下仍保持稳定性能。
• 对于 $ \mu $ 和 $ \nu $ 的替代参数化形式，无噪声条件下的误差为 $ 3.69 \times 10^{-3} $ 和 $ 3.14 \times 10^{-2} $，2% 噪声条件下的误差为 $ 1.84 \times 10^{-2} $ 和 $ 1.13 \times 10^{-1} $。
• 训练时间约为 1970–3570 秒，具体取决于情况，且在 50,000 次 L-BFGS 步骤内实现收敛。