[论文解读] Deep Neural Network Framework Based on Backward Stochastic Differential Equations for Pricing and Hedging American Options in High Dimensions

Yangang Chen, Justin W. L. Wan|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 16

一句话总结

该论文提出了一种基于倒向随机微分方程（BSDEs）的深度神经网络框架，用于在高维情形下对美式期权进行定价与对冲。通过训练一系列神经网络以学习时间步长之间的价格差异，并将BSDE残差最小化作为损失函数，该方法实现了在维度上呈二次方缩放的精确时空价格与对冲值（delta），在超过20个维度时优于最先进的Longstaff-Schwartz方法。

ABSTRACT

We propose a deep neural network framework for computing prices and deltas of American options in high dimensions. The architecture of the framework is a sequence of neural networks, where each network learns the difference of the price functions between adjacent timesteps. We introduce the least squares residual of the associated backward stochastic differential equation as the loss function. Our proposed framework yields prices and deltas on the entire spacetime, not only at a given point. The computational cost of the proposed approach is quadratic in dimension, which addresses the curse of dimensionality issue that state-of-the-art approaches suffer. Our numerical simulations demonstrate these contributions, and show that the proposed neural network framework outperforms state-of-the-art approaches in high dimensions.

研究动机与目标

• 为解决美式期权定价中的维度灾难问题，特别是当标的资产数量超过3个时。
• 不仅计算单点的期权价格，还计算整个时空域上的价格与对冲值，以实现完整的动态对冲。
• 克服基于回归的Longstaff-Schwartz方法在高维情形下复杂度高、可扩展性差的局限性。
• 开发一种利用美式期权领域知识（如收益平滑性与特征工程）的神经网络架构。
• 实现计算成本在维度上呈二次方缩放，从而在现有方法失效的200维情形下仍能求解。

提出的方法

• 该框架使用N个前馈神经网络的序列，每个网络均被训练以学习连续时间步长之间价值函数的差异。
• 损失函数为关联的倒向随机微分方程（BSDE）的最小二乘残差，该方程将期权价格与对冲值耦合于单一方程中。
• 特征包括当前资产价格、到期时的收益以及前一时间步长的继续持有价值，从而提升模型精度。
• 网络架构为递归定义，但不同于循环神经网络（RNNs），确保训练效率与泛化能力。
• 采用权重共享、集成学习以及重新定义训练输入（如v）等技术，以提升稳定性和性能。
• 该方法输出全时空域上的价格与对冲值，而不仅限于t=0时刻，从而支持完整的动态对冲。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于BSDE残差最小化的深度神经网络框架是否能在高维情形下实现准确的美式期权定价与对冲值计算？
• RQ2 当标的资产数量超过20个时，所提出的架构在准确度与计算效率方面是否优于Longstaff-Schwartz方法？
• RQ3 该框架是否能够计算全时空域上的价格与对冲值，而非孤立点，以支持完整的对冲策略？
• RQ4 该方法的计算成本随维度d的缩放关系如何？是否缓解了维度灾难问题？
• RQ5 与有限差分法和Longstaff-Schwartz方法相比，其行权边界检测精度与相对损益分布表现如何？

主要发现

• 所提方法以高精度计算时空价格与对冲值，在2D与5D情形下，其相对损益分布与有限差分法结果高度一致。
• 在200维最大收益看涨期权中，该方法实现了0.0016的平均相对损益与0.0614的标准差，精度与可扩展性均优于Longstaff-Schwartz方法。
• 行权边界的F1得分约为0.94，显著高于Longstaff-Schwartz的约0.76，表明其边界检测能力更优。
• 该方法的计算成本随维度d呈二次方缩放，可求解高达200维的问题，而Longstaff-Schwartz因内存与成本限制而失效。
• 在5维最大收益看涨期权中，计算出的价格（如行权价为90时为16.8896）略高于Longstaff-Schwartz的16.76，与Longstaff-Schwartz方法存在偏低偏差的特性一致。
• 该框架在所有维度上均生成了准确的对冲值，例如在行权价110时，对冲值为(0.2157, 0.2198, 0.2190, 0.2149, 0.2202)，展现出可靠的对冲信号。