[论文解读] Default Bayes Factors for Testing the (In)equality of Several Population Variances

Fabian Dablander, Don van den Bergh+2 more|UvA-DARE (University of Amsterdam)|Mar 13, 2020

Statistical Methods in Clinical Trials被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于检验两个或多个总体方差相等性或不等性的默认贝叶斯因子方法，通过重新参数化精度参数以实现稳健的模型比较。该方法支持相等性检验与顺序约束假设（例如，σ₁² > σ₂²），为原假设与备择模型提供分级证据，并已集成于 R 包 bfvartest 中，为经典 F 检验提供了一种贝叶斯替代方法，具有更高的可解释性与抽样一致性。

ABSTRACT

Testing the (in)equality of variances is an important problem in many statistical applications. We develop default Bayes factor tests to assess the (in)equality of two or more population variances, as well as a test for whether the population variances equal a specific value. The resulting test can be used to check assumptions for commonly used procedures such as the $t$-test or ANOVA, or test substantive hypotheses concerning variances directly. We show that our Bayes factor fulfills a number of desiderata. Researchers may have directed hypotheses such as $σ_{1}^{2} > σ_{2}^{2}$, they may want to extend $\mathcal{H}_{0}$ to have a null-region, or wish to combine hypotheses about equality with hypotheses about inequality, for example $σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2} > (σ_{3}^{2}, σ_{4}^{2})$. We extend our Bayes factor test to allow for these deviations from our proposed default and illustrate it on a number of practical examples. Our procedure is implemented in the R package $bfvartest$.

研究动机与目标

• 开发一种贝叶斯方法，用于检验多个组间方差的（不）相等性，以解决经典 p 值检验的局限性。
• 使研究人员能够以系统化的方式量化对原假设（例如，方差相等）的证据，并整合先验知识。
• 支持定向假设（例如，σ₁² > σ₂²）以及复杂约束（如 σ₁² = σ₂² > σ₃²,σ₄²），超越简单的相等性检验。
• 提供一种默认的、客观的方法，满足一致性、不变性与模型比较中的连贯性等关键期望特性。

提出的方法

• 通过将组精度 τⱼ 重新参数化为平均精度与 K−1 个比例 ϑⱼ，实现假设空间的变换。
• 在备择假设下，对精度比例使用非信息先验，原假设下使用杰弗里斯风格参考先验，推导出默认贝叶斯因子。
• 通过在 H₀ 和 H₁ 下计算边际似然，利用 Dirichlet 先验对 H₁ 下的比例 ϑⱼ 进行计算，得出贝叶斯因子。
• 通过积分消去均值等干扰参数，聚焦于方差结构。
• 该方法支持针对特定值的检验（例如，H₀: σ² = 0.10），并通过非重叠区间方法支持区间原假设（例如，H₀: σ² ∈ [0.90, 1.10]）。
• 该方法已通过 R 包 bfvartest 实现，包含用于两样本（twosd_test）、单样本（onesd_test）及 K 样本（ksd_test）检验的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在贝叶斯框架下检验多个组间方差的相等性，以量化相等性与不等性的证据？
• RQ2 能否构建一种默认贝叶斯因子，使其在方差检验背景下满足一致性、不变性与连贯性等关键期望特性？
• RQ3 如何将默认贝叶斯因子扩展至处理定向假设（如 σ₁² > σ₂²）与复杂顺序约束假设（如 σ₁² = σ₂² > σ₃²,σ₄²）？
• RQ4 所提出的贝叶斯因子在性能上与经典检验及分数贝叶斯因子方法相比如何？
• RQ5 该方法如何应用于现实世界问题，如评估测量精度或在心理学与考古学中检验关于变异性的实质性假设？

主要发现

• 所提出的默认贝叶斯因子在样本中具有一致性，即随着样本量增加，能正确倾向于真实假设。
• 该方法满足关键期望特性：在重新参数化下保持不变性、具有一致性，且在模型比较中保持连贯性。
• 在检验 H₀: σ₁² = σ₂² 与 H₁: σ₁² ≠ σ₂² 时，贝叶斯因子表现出稳健性与可解释性，并为 K=2 情况推导出明确的公式。
• 该方法支持检验总体方差是否等于特定值（如 H₀: σ² = 0.10），并为精度比例提供默认先验。
• 对于顺序约束假设（如 σ₁² > σ₂²），贝叶斯因子提供分级证据，其结果在人格差异研究中得到展示。
• R 包 bfvartest 成功实现了该方法，使其可应用于心理学、考古学及工程学等多个领域。