[论文解读] Default times, non arbitrage conditions and change of probability measures

Délia Coculescu, Monique Jeanblanc+1 more|ArXiv.org|Dec 21, 2008

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 27被引用 15

一句话总结

本文通过非套利条件，从经济角度为默认时间模型中的$(H)$假设（即浸入性）提供了金融合理性解释，并分析了在等价概率测度变换下浸入性如何被保持或改变。研究证明，当Radon-Nikodým导数为$\mathcal{F}_\infty$-可测时，浸入性得以保持，并推导出在一般等价测度下Azéma上鞅的显式乘法分解，扩展了Jeulin与Yor的既有结果。

ABSTRACT

In this paper we give a financial justification, based on non arbitrage conditions, of the $(H)$ hypothesis in default time modelling. We also show how the $(H)$ hypothesis is affected by an equivalent change of probability measure. The main technique used here is the theory of progressive enlargements of filtrations.

研究动机与目标

• 通过非套利条件，从经济角度为违约时间模型中的$(H)$假设（即浸入性）提供合理性解释。
• 研究在不完全市场与信息不完全的背景下，浸入性在等价概率测度变换下的行为。
• 将Jeulin与Yor关于测度变换下浸入性保持的经典结果推广至更广泛的等价测度类。
• 在一般等价测度下，为Azéma上鞅提供显式公式，从而实现违约强度的实用计算。
• 统一物理测度与风险中性测度下的鞅技巧与渐进扩张理论，用于信用风险建模。

提出的方法

• 利用滤子渐进扩张理论，将违约时间建模为避开$\mathbb{F}$-停时的随机时间。
• 应用Girsanov定理与鞅表示定理，刻画保持浸入性的测度变换。
• 推导$\mathbf{Q}$-Azéma上鞅的乘法分解：$ Z^\mathbf{Q}_t = \mathcal{E}(\int (\tilde{F}_s - {}^{(\mathbf{Q},p)}F_s) d\tilde{m}_s)_t \cdot e^{-\int_0^t (1+H_s) d\Gamma_s} $。
• 引入$\mathbb{G}$-鞅的一般表示形式，使用$\mathbb{F}$下的正交局部鞅与违约过程$N_t = \mathbf{1}_{\{\tau \leq t\}} - \Lambda_{t \wedge \tau}$。
• 利用预测投影$^{(p,\mathbf{Q})}F$与过程$\widetilde{m}_t = m_t - \int_0^t \frac{d[m,e]_s}{e_{s-}}$，将$\mathbb{F}$-鞅在$\mathbf{Q}$下进行变换。
• 证明：若$E_t = \mathcal{E}(\int F_s dm_s)_t$是一致可积的$\mathbb{G}$-鞅，且$H$为$\mathbb{F}$-预测可测，则在$\mathbf{Q}$下有$Z^\mathbf{Q}_t = e^{-\int_0^t (1+H_s) d\Lambda_s}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在违约风险模型中，等价测度变换下浸入性在何种条件下得以保持？
• RQ2 当违约时间避开$\mathbb{F}$-停时时，如何在一般等价测度下显式计算Azéma上鞅？
• RQ3 Radon-Nikodým导数的$\mathcal{F}_\infty$-可测性在保持浸入性中起什么作用？
• RQ4 在非风险中性测度变换下，浸入性是否仍可保持？其充分条件是什么？
• RQ5 在渐进扩张框架下，违约强度与生存概率在一般等价测度下如何演化？

主要发现

• 若Radon-Nikodým导数为$\mathcal{F}_\infty$-可测，则浸入性在等价测度变换下得以保持，扩展了Jeulin与Yor的结果。
• 一个充分的非套利条件是：在某个等价测度下浸入性成立，该测度不一定是风险中性测度。
• $\mathbf{Q}$-Azéma上鞅具有乘法分解：$ Z^\mathbf{Q}_t = \mathcal{E}(\int (\tilde{F}_s - {}^{(\mathbf{Q},p)}F_s) d\tilde{m}_s)_t \cdot e^{-\int_0^t (1+H_s) d\Gamma_s} $，其中$\widetilde{m}$是$\mathbf{Q}$下关于$\mathbb{F}$的鞅。
• 若$F$为$\mathbb{F}$-预测可测且$H=0$，则$Z^\mathbf{Q}_t = e^{-\int_0^t d\Lambda_s} = e^{-\int_0^t \lambda_s ds}$，表明在$\mathbf{Q}$下违约强度保持不变。
• 过程$N^\mathbf{Q}_t = \mathbf{1}_{\{\tau \leq t\}} - \int_0^{t \wedge \tau} (1+H_s) d\Lambda_s$是$\mathbf{Q}$下的$\mathbb{G}$-鞅，从而确保在$\mathbf{Q}$下浸入性成立。
• 结果将先前研究推广为：只要密度为$\mathcal{F}_\infty$-可测且满足鞅表示条件，浸入性即可在一大类等价测度下保持。