[论文解读] Defect of an extension, key polynomials and local uniformization

Jean-Christophe San Saturnino|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 16

一句话总结

本文证明了有限、单一代数扩张的缺陷等于其完整关键多项式集中所有极限关键多项式的有效次数的乘积，从而在缺陷与关键多项式理论之间建立了精确的代数联系。主要贡献在于：在剩余特征为正的等特征拟佳局部域上的秩1赋值下，于归纳缺陷无瑕假设下证明了局部统一化定理，推广了先前结果，并通过关键多项式与有效次数重新证明了特征零情形下的局部统一化。

ABSTRACT

For all simple and finite extension of a valued field, we prove that its defect is the product of the effective degrees of the complete set of key polynomials associated. As a consequence, we obtain a local uniformization theorem for valuations of rank 1 centered on an equicharacteristic quasi-excellent local domain satisfying some inductive assumptions of lack of defect.

研究动机与目标

• 阐明赋值扩张的缺陷与赋值相关联的关键多项式之间的精确关系。
• 通过在商域上引入归纳缺陷无瑕假设，推广先前的局部统一化结果。
• 利用关键多项式与有效次数重新证明特征零情形下的局部统一化。
• 证明在扩张中，极限关键多项式的有效次数的乘积即为缺陷。
• 通过有效次数对赋值相关的分次代数结构进行刻画。

提出的方法

• 将域扩张的缺陷定义为不等式 [L:K] ≤ [Γμ:Γν][kμ:kν] 中的乘法因子，其为剩余特征的幂。
• 采用 [3] 和 [9] 中的关键多项式框架，特别是完整集与1-完整集的概念。
• 定义多项式 P 相对于关键多项式 Q 的有效次数为：在 P 的标准展开中，使系数的赋值最大的项所含 Q 的最高次幂。
• 证明赋值相关的分次代数关于有效次数是欧几里得的，且有效次数序列是非增的，并最终趋于常数。
• 应用牛顿多边形理论与 W. Mahboub 的关键多项式理论，证明缺陷等于极限关键多项式有效次数的乘积。
• 通过维数的归纳法及商域的缺陷无瑕性，证明在等特征拟佳局部域上，秩1赋值的局部统一化定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限、单一代数扩张的赋值扩张的缺陷如何与赋值的关键多项式相关？
• RQ2 缺陷能否表示为关键多项式有效次数的乘积，尤其是在存在极限关键多项式的情况下？
• RQ3 在什么条件下，拟佳局部域上的秩1赋值会允许局部统一化？
• RQ4 有效次数在刻画赋值相关分次代数结构中起什么作用？
• RQ5 若无极限关键多项式，是否意味着扩张是缺陷无瑕的，反之亦然？

主要发现

• 有限、单一代数扩张的缺陷等于其完整关键多项式集中所有极限关键多项式有效次数的乘积。
• 当剩余域的特征为零时，缺陷平凡，且局部统一化定理成立，从而恢复了 Zariski 的经典结果。
• 若局部域的完备化商域是缺陷无瑕的，且在低维情形局部统一化性质成立，则该赋值具有嵌入式局部统一化。
• 相对于关键多项式的多项式有效次数是良好定义的，并控制着相关分次代数的结构。
• 有效次数序列是非增的，并趋于一个常数值；若该值为 0 或 1，则关键多项式集合为 1-完整。
• 对于等特征拟佳局部域上的秩1赋值，在连续完备化的商域满足归纳缺陷无瑕假设时，局部统一化成立。