[论文解读] Defective and Clustered Colouring of Sparse Graphs

Kevin Hendrey, David R. Wood|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

本文通过利用最大平均度（MAD）约束，为稀疏图中的缺陷列表染色和聚类列表染色建立了改进的界。证明了最大平均度小于 (2d+2)/(d+2)k 的图是缺陷 d 的 k-可选列表染色图，且当 d=1 时，该结果给出了聚类 2 的紧致界 (3/4)m+1，扩展了先前结果并解决了关于地球-月球图的一个开放问题。

ABSTRACT

An (improper) graph colouring has $d$ if each monochromatic subgraph has maximum degree at most $d$, and has $c$ if each monochromatic component has at most $c$ vertices. This paper studies defective and clustered list-colourings for graphs with given maximum average degree. We prove that every graph with maximum average degree less than $\frac{2d+2}{d+2} k$ is $k$-choosable with defect $d$. This improves upon a similar result by Havet and Sereni [J. Graph Theory, 2006]. For clustered choosability of graphs with maximum average degree $m$, no $(1-\epsilon)m$ bound on the number of colours was previously known. The above result with $d=1$ solves this problem. It implies that every graph with maximum average degree $m$ is $\lfloor{\frac{3}{4}m+1} floor$-choosable with clustering 2. This extends a result of Kopreski and Yu [Discrete Math., 2017] to the setting of choosability. We then prove two results about clustered choosability that explore the trade-off between the number of colours and the clustering. In particular, we prove that every graph with maximum average degree $m$ is $\lfloor{\frac{7}{10}m+1} floor$-choosable with clustering $9$, and is $\lfloor{\frac{2}{3}m+1} floor$-choosable with clustering $O(m)$. As an example, the later result implies that every biplanar graph is 8-choosable with bounded clustering. This is the best known result for the clustered version of the earth-moon problem. The results extend to the setting where we only consider the maximum average degree of subgraphs with at least some number of vertices. Several applications are presented.

研究动机与目标

• 改进具有有界最大平均度的图在缺陷和聚类列表染色方面的现有界。
• 解决关于聚类 2 的 clustered choosability 所需颜色数是否可达到 (1−ε)m 界的开放问题。
• 探索稀疏图中颜色数与聚类大小之间的权衡。
• 将结果扩展至具有最小顶点数约束的子图，以增强对现实世界稀疏结构的应用性。

提出的方法

• 通过最大平均度（MAD）分析图结构，推导出具有缺陷 d 的可选性界。
• 应用放电论证和结构分解以控制单色连通分量的大小。
• 建立 k-可选性与缺陷 d 的 MAD 一般上界为 (2d+2)/(d+2)k。
• 证明当 d=1 时，该界可导出聚类 2 时使用 (3/4)m+1 种颜色，优于先前结果。
• 将框架扩展至处理至少包含 t 个顶点的子图，确保对稀疏子结构的鲁棒性。
• 推导出权衡结果：聚类 9 时使用 (7/10)m+1 种颜色，聚类 O(m) 时使用 (2/3)m+1 种颜色。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有界最大平均度的图中，k-可选性与缺陷 d 所需颜色数的最紧致界是什么？
• RQ2 能否为聚类 2 的 clustered choosability 建立 (1−ε)m 界，从而解决稀疏图染色中的一个开放问题？
• RQ3 在最大平均度为 m 的图中，颜色数与聚类大小之间的权衡行为如何？
• RQ4 关于聚类可选性的结果在多大程度上可推广至具有最少顶点数的子图？
• RQ5 这些界对知名稀疏图类（如双平面图）有何影响？

主要发现

• 所有最大平均度小于 (2d+2)/(d+2)k 的图都是缺陷 d 的 k-可选列表染色图，优于 Havet 和 Sereni 的先前工作。
• 当 d=1 时，结果表明所有最大平均度为 m 的图都是聚类 2 的 (3/4)m+1-可选列表染色图，解决了开放问题。
• 本文证明所有最大平均度为 m 的图都是聚类 9 的 (7/10)m+1-可选列表染色图。
• 此外，还证明所有最大平均度为 m 的图都是聚类 O(m) 的 (2/3)m+1-可选列表染色图，提供了强有力的权衡结果。
• 结果可推广至至少包含 t 个顶点的子图，增强了对稀疏图和局部稀疏图的应用性。
• 作为推论，每个双平面图都是 8-可选列表染色图且聚类有界，代表了目前关于聚类地球-月球问题的最佳结果。