[论文解读] Deficit Estimates for the Logarithmic Sobolev Inequality

Emanuel Indrei, Dae Sung Kim|arXiv (Cornell University)|May 16, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文利用最优传输理论与傅里叶分析，为对数索博莱夫不等式（LSI）建立了精确的定量稳定性估计，证明了LSI的缺陷量控制了与高斯测度之间的Wasserstein距离和$L^p$距离。在矩和可积性约束下，给出了密度偏离1的$L^1$与$L^p$范数的显式多项式界，关键结果表明：在$ Vert f-1 Vert_{L^1(d\gamma)} \leq C_M \delta^{1/4}(f)$与$ Vert f-1 Vert_{L^p(d\gamma)} \leq C_{M,N,p} \delta^{1/(8p)}(f)$下成立，其中$C_M > 0$依赖于$M \geq 1$，$C_{M,N,p} > 0$依赖于$M, N, p$。

ABSTRACT

We identify sharp spaces and prove quantitative and non-quantitative stability results for the logarithmic Sobolev inequality involving Wasserstein and $L^p$ metrics. The techniques are based on optimal transport theory and Fourier analysis. We also discuss a probabilistic approach.

研究动机与目标

• 量化对数索博莱夫不等式（LSI）的稳定性，通过测量函数与高斯极小化器的接近程度。
• 识别LSI缺陷控制$L^p$-距离至高斯测度的精确函数空间。
• 建立密度$f$相对于标准高斯测度的$L^1$与$L^p$范数的显式多项式界。
• 将LSI中的稳定性结果与概率度量（如Wasserstein、总变差与Kolmogorov距离）相连接。

提出的方法

• 利用最优传输理论，将LSI缺陷与测度$fd\gamma$与标准高斯测度$d\gamma$之间的$W_1$距离联系起来。
• 应用傅里叶分析与Beckner–Hirschman不确定性原理，推导缺陷的替代下界。
• 利用从$fd\gamma$到$d\gamma$的最优传输问题的解，通过$W_1$与缺陷控制总变差。
• 使用$W_1$-稳定性结果：对于$ Vert f-1 Vert_{L^1(d\gamma)} \leq C_M \delta^{1/4}(f)$，其中$C_M > 0$依赖于$M \geq 1$。
• 建立概率度量之间的联系：$d_{\mathrm{K}} \leq 2d_{\mathrm{P}}$，$W_1 \leq 4\sqrt{M} d_{\mathrm{K}}^{1/2}$，$d_{\mathrm{TV}} \leq 2d_{\mathrm{H}}$，以传递稳定性估计。
• 通过Poincaré不等式的张量化与矩条件，处理乘积测度与边缘约束的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有有界二阶矩的中心化概率测度，当LSI缺陷$ Vert f-1 Vert_{L^1(d\gamma)}$的衰减速率是多少？
• RQ2 在额外可积性条件下，能否建立LSI的$L^p$-稳定性，且缺陷界中的最优指数为何？
• RQ3 Wasserstein距离$W_1$与$W_2$如何与LSI缺陷关联，为何$W_2$-稳定性在一般情况下不成立？
• RQ4 傅里叶-Wiener变换与调和分析在推导LSI缺陷估计中起什么作用？
• RQ5 在LSI稳定性背景下，不同概率度量（Kolmogorov、Prokhorov、总变差）之间如何相互关联？

主要发现

• 对于$ Vert f-1 Vert_{L^1(d\gamma)} \leq C_M \delta^{1/4}(f)$，其中$C_M > 0$依赖于$M \geq 1$。
• 在更高阶可积性$ Vert f-1 Vert_{L^p(d\gamma)} \leq C_{M,N,p} \delta^{1/(8p)}(f)$下，$p > 1$，其中$C_{M,N,p} > 0$。
• 对于中心化测度$ Vert f-1 Vert_{L^1(d\gamma)} \leq C_M \delta^{1/4}(f)$，其中$C_M > 0$依赖于$M \geq 1$。
• 对于乘积测度$f = \prod f_i$，其中每个$f_i \in \mathcal{P}_2^M(\mathbb{R})$，相同的$L^1$界$ Vert f-1 Vert_{L^1(d\gamma)} \leq C \delta^{1/4}(f)$成立，其中$C = C(n,M)$。
• 若无额外可积性条件，$L^1$-稳定性结果对$p > 1$不成立，反例表明$ Vert f_k - 1 Vert_{L^p(d\gamma)} > 0$，而$ Vert f_k - 1 Vert_{L^p(d\gamma)} \to 0$。
• Kolmogorov距离满足$d_{\mathrm{K}}(\mu, \gamma) \leq c \delta^{1/8}(v)$，其中$c$为某常数，将缺陷与分布收敛速率联系起来。