[论文解读] Definability and decidability in expansions by generalized Cantor sets

William Balderrama, Philipp Hieronymi|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文研究了在以 $ r $ 为底的广义康托集扩张下，有序实加法群的可定义性与可判定性。研究发现，虽然单个广义康托集的扩张是可判定的，且与捕捉以 $ r $ 为底的数位信息的结构互定义，但当以乘法独立的底数扩张两个此类集合时，系统变为不可判定，因为其可定义所有紧致集。关键结果为：当 $ \log_r(s) \notin \mathbb{Q} $ 时，结构 $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}, C_{s,L}) $ 可定义每一个紧致集，从而导致不可判定性与完整的投影可定义性。

ABSTRACT

We determine the sets definable in expansions of the ordered real additive group by generalized Cantor sets. Given a natural number $r\geq 3$, we say a set $C$ is a generalized Cantor set in base $r$ if there is a non-empty $K\subseteq\{1,\ldots,r-2\}$ such that $C$ is the set of those numbers in $[0,1]$ that admit a base $r$ expansion omitting the digits in $K$. While it is known that the theory of an expansion of the ordered real additive group by a single generalized Cantor set is decidable, we establish that the theory of an expansion by two generalized Cantor sets in multiplicatively independent bases is undecidable.

研究动机与目标

• 确定 $ (\mathbb{R}, <, +) $ 在单个广义康托集扩张下的可定义集合。
• 研究多个广义康托集扩张是否保持模型论上的‘良态’。
• 厘清此类结构中可判定性与不可判定性的边界，特别是当添加多个康托集时。
• 确立此类扩张可定义 $ \mathbb{R} $ 的所有紧致子集的条件。

提出的方法

• 使用 $ W_r $，一个编码以 $ r $ 的整数次幂为位置的 $ r $ 进制数位的三元谓词，来定义广义康托集 $ C_{r,K} $。
• 建立 $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}) $ 与 $ \mathcal{S}_r = (\mathbb{R}, <, +, W_r|_{[0,1] \times r^{-\mathbb{N}} \times \{0,\dots,r-1\}}) $ 之间的互定义性。
• 应用 Büchi 和 Boigelot 等人的自动机理论与模型论工具，证明单个康托集扩张的可判定性。
• 证明当 $ \log_r(s) \notin \mathbb{Q} $ 时，结构 $ (\mathbb{R}, <, +, W_r, W_s) $ 通过 Villemaire 定理的推广可定义所有紧致集。
• 利用 $ r^{-\mathbb{N}} $ 上的可定义函数，如 $ f(r^{-d}) = r^{-\lceil \log_s(r) d \rceil} $，来模拟带稠密性的集合，从而实现紧致集的可定义性。
• 利用素因数分解与 $ r $-进赋值技术，将一般情形约化为已知结果可证明可定义性的子情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单个广义康托集下，$ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}) $ 中哪些集合是可定义的？
• RQ2 结构 $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}) $ 的理论是否可判定？
• RQ3 当以乘法独立的底数扩张 $ (\mathbb{R}, <, +) $ 时会发生什么？
• RQ4 此类扩张是否可定义 $ \mathbb{R} $ 的所有紧致子集？
• RQ5 在何种条件下添加多个康托集会导致不可判定性？

主要发现

• 结构 $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}) $ 与 $ \mathcal{S}_r $ 互定义，意味着其可定义集恰好是 $ \mathcal{S}_r $ 中的可定义集。
• 对于任意 $ r \geq 3 $ 及任意非空 $ K \subseteq \{1,\dots,r-2\} $，结构 $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}) $ 的理论是可判定的。
• 当 $ \log_r(s) \notin \mathbb{Q} $ 时，结构 $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}, C_{s,L}) $ 可定义 $ \mathbb{R} $ 的每一个紧致子集。
• 因此，当 $ \log_r(s) \notin \mathbb{Q} $ 时，结构 $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}, C_{s,L}) $ 的理论是不可判定的。
• 该扩张可定义 $ [0,1]^k $ 的每一个投影子集，因为它可解释 $ (\mathbb{R}, +, \cdot, \mathbb{N}) $。
• 尽管乘法未必可定义，但由于可定义所有紧致集，该结构仍捕获了完整的投影复杂性。