[论文解读] Definability results for invariant distributions on a reductive unramified p-adic group

Raf Cluckers, Julia Gordon+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 1

一句话总结

本文证明了在拟重整非分歧p进李群上，轨道积分的傅里叶变换是可构造动机指数函数的特例，从而通过动机转移原理将哈里什-钱德拉的可积性定理推广至正特征局部域。在假设存在一个拟指数映射的前提下，这进一步表明在大正特征下，赋值域的可容许表示的哈里什-钱德拉特征是局部可积的。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected reductive algebraic group over a non-Archimedean local field $K$, and let $g$ be its Lie algebra. By a theorem of Harish-Chandra, if $K$ has characteristic zero, the Fourier transforms of orbital integrals are represented on the set of regular elements in $g(K)$ by locally constant which, extended by zero to all of $g(K)$, are locally integrable. In this paper, we prove that these functions are in fact specializations of constructible motivic exponential functions. Combining this with the Principle for integrability [R. Cluckers, J. Gordon, I. Halupczok, Transfer principles for integrability and boundedness conditions for motivic exponential functions, preprint arXiv:1111.4405], we obtain that Harish-Chandra's theorem holds also when $K$ is a non-Archimedean local field of sufficiently large positive characteristic. Under the hypothesis on the existence of the mock exponential map, this also implies local integrability of Harish-Chandra characters of admissible representations of $G(K)$, where $K$ is an equicharacteristic field of sufficiently large (depending on the root datum of $G$) characteristic.

研究动机与目标

• 建立在拟重整非分歧p进群上轨道积分的傅里叶变换是可构造动机指数函数的特例。
• 将哈里什-钱德拉关于轨道积分变换局部可积性的定理推广至正特征的非阿基米德局部域。
• 研究在大正特征的同特征域中，可容许表示的哈里什-钱德拉特征的局部可积性。
• 应用动机转移原理，从特征零中的已知结果推导出正特征中的可积性结果。
• 探讨拟指数映射在连接动机函数与表示论对象（如哈里什-钱德拉特征）中的作用。

提出的方法

• 利用可构造动机指数函数理论来表示轨道积分的傅里叶变换。
• 应用动机积分中的可积性原理，将可积性性质从特征零转移到正特征。
• 应用动机指数函数中可积性与有界性条件的转移原理（如 arXiv:1111.4405 中所发展）。
• 依赖于拟指数映射的存在性，以建立动机函数与可容许表示的哈里什-钱德拉特征之间的联系。
• 通过零延拓将正则半单元素上的局部常值函数扩展至整个李代数，从而得到局部可积函数。
• 应用动机积分的结果，推导出动机函数的特化在正特征下产生实际的可积函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拟重整非分歧p进群上，轨道积分的傅里叶变换能否被描述为可构造动机指数函数的特例？
• RQ2 可积性原理是否允许将哈里什-钱德拉的可积性定理推广至正特征的非阿基米德局部域？
• RQ3 在何种特征条件下，可容许表示的哈里什-钱德拉特征保持局部可积？
• RQ4 拟指数映射的存在性如何促进动机可积性向表示论对象的转移？
• RQ5 对于可积性结果成立，所需特征对群G的根系的精确依赖关系是什么？

主要发现

• 拟重整非分歧p进群的李代数上轨道积分的傅里叶变换是可构造动机指数函数的特例。
• 哈里什-钱德拉关于轨道积分变换局部可积性的定理在正特征足够大的非阿基米德局部域上成立。
• 在假设存在拟指数映射的前提下，当K是足够大特征的同特征域时，G(K)的可容许表示的特征是局部可积的。
• 所需特征依赖于群G的根系，根系越大，所需的特征阈值越高。
• 通过将动机转移原理应用于有界性与可积性条件，实现了从特征零到正特征的可积性转移。
• 正则半单元素上局部常值函数通过零延拓扩展至整个李代数时，保持了局部可积性，这是论证中的关键步骤。