[论文解读] Definable discrete sets with large continuum

David Schrittesser|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

该论文证明，在哥德尔可构造宇宙 L 的迭代 Sacks 强迫扩张中，每一个 Σ¹₁ 二元关系都存在一个 Δ¹₂ 最大离散集，即使连续统较大（例如 2^ℵ₀ = ℵ₂）时亦然。该结果被用于构造一个 Π¹₁ 最大正交族的 Borel 概率测度，展示了在连续统较大的强迫扩张下，存在可定义的最大离散集，其方法基于一种新的迭代 Sacks 强迫的拉姆齐理论原则。

ABSTRACT

Let $\mathcal R$ be a $Σ^1_1$ binary relation and call a set $\mathcal R$-discrete iff no two distinct of its elements are $\mathcal R$-related. We show that in the extension of $\mathbf{L}$ by iterated Sacks forcing, there is a $Δ^1_2$ maximal $\mathcal R$-discrete set, and thus the existence of such sets is compatible with the negation of the continuum hypothesis. As an application we find a $Π^1_1$ maximal orthogonal family of Borel probability measures in said extension. The basis of this is a new Ramsey theoretic result.

研究动机与目标

• 研究在连续统较大的强迫扩张中，Σ¹₁ 二元关系是否存在可定义的最大离散集。
• 将 Galvin 关于 Sacks 强迫中同质集的定理推广至迭代 Sacks 强迫。
• 在 L 的迭代 Sacks 扩张中构造一个 Π¹₁ 最大正交族的 Borel 概率测度。
• 证明此类可定义的最大离散集的存在性与连续统假设的否定是一致的。
• 通过分析项目式可定义性与拉姆齐理论原则中的普遍性作用，探讨可定义性的极限。

提出的方法

• 在 L 上对长度为 ω₂ 的迭代 Sacks 强迫，为任意在有效呈现的波兰空间上的 Σ¹₁ 关系 R，构造一个 Δ¹₂ 最大 R-离散集。
• 关键的技术工具是一项新的拉姆齐理论结果：对于迭代 Sacks 条件分支空间上的任意 C-普遍 Baire 色彩，存在一个更强的条件，其分支集在划分的定义域上支持一个同质色彩。
• 证明利用了迭代中拓扑确定的条件，为极限 λ 定义分支空间 [p̄] ⊆ λ(ω2)，并基于两条分支首次不同的坐标分析色彩。
• 通过一个强迫论证表明，一个泛型条件 q̄ 通过保持 Δ¹₂ 可定义性的融合过程，强制存在一个最大离散集。
• 在每个阶段使用 Galvin 证人，以确保树的初始段上的同质性，从而保证最终集合为 R-离散且最大。
• 在正交族测度的应用中，关键在于 P*(X)（即完美波兰空间 X 上的非原子 Borel 概率测度空间）本身是一个有效波兰空间，且具有 Borel 正交关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 Galvin 关于 Baire 可测色彩的同质集定理是否可从 Sacks 强迫推广至迭代 Sacks 强迫？
• RQ2 在连续统较大的强迫扩张中，Σ¹₁ 关系是否仍可存在项目式最大离散集？
• RQ3 在 L 的迭代 Sacks 扩张中是否存在一个 Π¹₁ 最大正交族的 Borel 概率测度？
• RQ4 “每个波兰空间上的项目式二元关系都存在项目式截面”这一命题的一致性强度为何？
• RQ5 最大正交族测度是否可在强迫扩张中保持不变，或是否总在外部模型中被破坏？

主要发现

• 在 L 的长度为 ω₂ 的迭代 Sacks 扩张中，每一个 Σ¹₁ 二元关系都存在一个 Δ¹₂ 最大 R-离散集，即使连续统大于 ℵ₁ 时亦然。
• 此类可定义的最大离散集的存在性与连续统假设的否定是一致的。
• 在相同强迫扩张中，存在一个 Π¹₁ 最大正交族的 Borel 概率测度，这是主定理与先前工作结果的推论。
• 本文建立了一项关于迭代 Sacks 强迫的新拉姆齐理论原则：对于任意条件分支空间上的 C-普遍 Baire 色彩，存在一个更强的条件，其分支集在划分的定义域上支持一个同质色彩。
• 该构造表明，所获得的最大离散集在强迫扩张中是 Δ¹₂-可定义的，且无需参数。
• 该结果是最优的，因为基于第一个不同坐标的色彩（cξ）的障碍无法克服，因此对 Δξ 的划分是必要的。