[论文解读] Defining Quantum Control Flow

Mingsheng Ying, Nengkun Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文引入了三种新的量子程序构造——量子受控命令、量子选择和量子递归，以形式化量子编程语言中的量子控制流。它表明，与经典控制流不同，量子控制流能够在不进行测量的情况下实现幺正变换，并揭示了一个根本性的复杂性差异：带有量子控制的量子循环无法在不退化为概率行为的情况下实现局部化，而经典控制流则可以。

ABSTRACT

A remarkable difference between quantum and classical programs is that the control flow of the former can be either classical or quantum. One of the key issues in the theory of quantum programming languages is defining and understanding quantum control flow. A functional language with quantum control flow was defined by Altenkirch and Grattage [ extit{Proc. LICS'05}, pp. 249-258]. This paper extends their work, and we introduce a general quantum control structure by defining three new quantum program constructs, namely quantum guarded command, quantum choice and quantum recursion. We clarify the relation between quantum choices and probabilistic choices. An interesting difference between quantum recursions with classical control flows and with quantum control flows is revealed.

研究动机与目标

• 将量子控制流形式化为一种独立于经典控制流的范式，以超越量子程序中的经典控制流。
• 通过引入支持真正量子控制的构造，解决现有量子编程语言依赖于“量子数据，经典控制”的局限性。
• 阐明量子选择与概率选择之间的区别，表明量子控制可导致无测量的幺正演化。
• 研究在定义带有量子控制的递归和循环时面临的挑战，特别是辅助量子比特的不可局部化性。
• 为完整的量子控制流理论奠定基础，包括潜在扩展至量子 Floyd-Hoare 逻辑和程序验证。

提出的方法

• 提出一种通用的量子受控命令构造：$\square_{i=1}^{n}\ \overline{q},|i\rangle\rightarrow P_{i}$，其中控制由辅助寄存器 $\overline{q}$ 的量子态决定，实现无需测量的幺正分支。
• 引入量子选择，通过一个幺正硬币算符 $C$ 实现程序分支的叠加，定义为 $\mathbf{skip}_{C[q]}\oplus P$，实现对替代程序路径的相干选择。
• 通过包含量子变量的递归程序构造 $\mu X.P$ 定义量子递归，其中递归体以程序名 $X$ 为参数，并共享变量集合。
• 将量子循环建模为迭代结构 $Q_n'$，使用量子选择和辅助量子比特 $q_1, ..., q_n$，其语义定义在递增的希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\overline{q}} \otimes \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{H}_{q_i}$ 上。
• 通过半经典语义 $\lceil Q_n' \rceil$ 分析量子迭代 $Q_n'$ 的语义，表明 $\lceil Q_n' \rceil(\epsilon)|\psi\rangle|0\rangle^n = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2^{i+1}}}U^i|\psi\rangle|0\rangle^{n-i}|1\rangle^i$。
• 证明在量子循环中对辅助量子比特 $q_1, ..., q_n$ 进行局部化会导致退化的概率语义 $\llbracket Q_n'' \rrbracket(\rho) = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2^{i+1}}U^i\rho(U^\dagger)^i$，从而导致量子相干性丧失。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何形式化定义量子受控命令，使其基于量子叠加而非经典测量结果，以支持基于量子态的幺正控制流？
• RQ2 量子选择与概率选择之间的正式区别是什么？量子选择如何在程序执行中保持幺正性？
• RQ3 为何带有量子控制的量子递归与经典控制递归在行为上存在根本性差异，特别是在状态空间演化方面？
• RQ4 能否将带有量子控制的量子循环定义为有限迭代的极限？此类定义存在哪些障碍？
• RQ5 辅助量子比特在量子循环中不可局部化，对量子程序的语义和验证有何影响？

主要发现

• 量子受控命令通过使用寄存器 $\overline{q}$ 的量子控制，将经典受控命令泛化，实现无需测量的幺正分支，如量子行走和 QML 中的 $\mathbf{if}^\circ$ 所示。
• 通过幺正硬币算符 $C$ 定义的量子选择，允许程序分支的相干叠加，导致在不同路径间实现幺正演化，而概率选择则不具备此特性。
• 带有量子控制的量子循环 $Q_n'$ 定义在递增的希尔伯特空间 $\mathcal{H}_{\overline{q}} \otimes \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{H}_{q_i}$ 上，其语义为 $\lceil Q_n' \rceil(\epsilon)|\psi\rangle|0\rangle^n = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2^{i+1}}}U^i|\psi\rangle|0\rangle^{n-i}|1\rangle^i$。
• 对 $Q_n'$ 中的辅助量子比特 $q_1, ..., q_n$ 进行局部化，将导致概率语义 $\llbracket Q_n'' \rrbracket(\rho) = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2^{i+1}}U^i\rho(U^\dagger)^i$，表明量子控制无法在不损失相干性的情况下实现局部化。
• 带有量子控制的量子递归在本质上比经典控制递归更复杂，因为其状态空间随每次迭代增长，且无法通过局部化来简化，否则将损失量子行为。
• 本文确立了带有量子控制的量子循环无法被定义为有限迭代的极限，因为各次迭代的希尔伯特空间维度不同，凸显了量子程序语义中的一个关键挑战。