[论文解读] Defining Z in Q

Jochen Koenigsmann|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 13

一句话总结

本文证明了整数环 ℤ 可在有理数域 ℚ 中通过一个仅含一个全称量词的全称一阶公式定义，即存在一个 ∀∃-公式。此外，本文构造了 ℚ 的新丢番图子集，包括一个范数像的补集，并在强形式的 Bombieri-Lang 猜想下证明了 ℤ 在 ℚ 中不存在存在性定义。

ABSTRACT

We show that ${\mathbb Z}$ is definable in ${\mathbb Q}$ by a universal first-order formula in the language of rings. We also present an $\forall\exists$-formula for ${\mathbb Z}$ in ${\mathbb Q}$ with just one universal quantifier. We exhibit new diophantine subsets of ${\mathbb Q}$ like the complement of the image of the norm map under a quadratic extension, and we give an elementary proof of the fact that the set of non-squares is diophantine. Finally, we show that there is no existential formula for ${\mathbb Z}$ in ${\mathbb Q}$, provided one assumes a strong variant of the Bombieri-Lang Conjecture for varieties over ${\mathbb Q}$ with many ${\mathbb Q}$-rational points.

研究动机与目标

• 通过一阶逻辑在有理数域 ℚ 中建立整数 ℤ 的可定义刻画。
• 显式构造 ℚ 的丢番图子集，包括范数像的补集和非完全平方数的集合。
• 研究在 ℚ 中定义 ℤ 的逻辑复杂度，特别是是否存在一个存在性公式。
• 探讨 Bombieri-Lang 猜想对 ℚ 中 ℤ 的可定义性的影响。

提出的方法

• 使用环语言中的模型论技术，通过一个全称一阶公式在 ℚ 中定义 ℤ。
• 构造一个仅含一个全称量词的 ∀∃-公式来定义 ℚ 中的 ℤ，从而降低逻辑复杂度。
• 证明在二次扩张下范数映射像的补集是 ℚ 的丢番图子集。
• 给出一个初等证明，表明 ℚ 中非完全平方数的集合是丢番图的。
• 应用 Bombieri-Lang 猜想的一个强形式变体，排除 ℚ 中 ℤ 存在性定义的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一个全称一阶公式在 ℚ 中定义 ℤ？
• RQ2 是否存在一个仅含一个全称量词的 ∀∃-公式来定义 ℚ 中的 ℤ？
• RQ3 能否构造 ℚ 的新丢番图子集，例如范数像的补集？
• RQ4 能否通过初等方法证明 ℚ 中非完全平方数的集合是丢番图的？
• RQ5 若 ℚ 中存在 ℤ 的存在性公式，是否与 Bombieri-Lang 猜想的一个强形式变体矛盾？

主要发现

• 整数 ℤ 可在有理数域 ℚ 中通过环语言中的一个全称一阶公式定义。
• 构造了一个仅含一个全称量词的 ∀∃-公式来定义 ℚ 中的 ℤ，从而提高了逻辑效率。
• 证明了在二次扩张下范数映射像的补集是 ℚ 的一个丢番图子集。
• 通过一个初等论证，证明了 ℚ 中非完全平方数的集合是丢番图的。
• 在强形式的 Bombieri-Lang 猜想下，ℚ 中不存在 ℤ 的存在性公式。