[论文解读] Definitions of h-logaritmic, h-geometric and h-multi convex functions and some inequalities related to them

M. Emіn Özdemіr, Mevlüt Tunç+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文引入了凸函数的新类——h-对数凸、h-几何凸和h-多重凸，通过非负函数h对经典凸性进行推广。利用超可加性与变量代换，建立了积分不等式，包括Hermite-Hadamard型结果和基于Hölder不等式的界，将凸分析中的已知结果推广至更广泛的函数类，并应用于积分估计。

ABSTRACT

In this papaer, we put forward some new definitions and integral inequalities by using fairly elementary analysis.

研究动机与目标

• 通过非负函数h引入h-对数凸、h-几何凸和h-多重凸函数，推广经典凸性概念。
• 将Hermite-Hadamard不等式推广至这些新函数类。
• 通过Hölder不等式与变量代换，推导涉及h-凸性的新积分不等式，尤其关注h-几何凸性。
• 统一并推广关于s-对数凸与s-几何凸函数的现有结果。

提出的方法

• 通过不等式 f(tx + (1-t)y) ≤ [f(x)]^h(t) [f(y)]^h(1-t)（t ∈ [0,1]）定义h-对数凸函数。
• 利用对数变换，建立h-对数凸性与log f的h-凸性之间的等价关系。
• 通过 f(x^t y^{1-t}) ≤ [f(x)]^h(t) [f(y)]^h(1-t) 定义h-几何凸函数，推广几何凸性。
• 将h-多重凸函数定义为混合形式：λf(x^t y^{1-t}) + (1-λ)f(tx + (1-t)y) ≤ [f(x)]^h(t) [f(y)]^h(1-t)，结合对数与几何形式。
• 应用具有共轭指数p, q的Hölder不等式，推导h-几何凸函数乘积积分的界。
• 通过变量代换 γ = x^t y^{1-t} 转换积分，推导Hermite-Hadamard型不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过函数h推广对数凸性概念，以定义h-对数凸函数？
• RQ2 如何利用Hölder不等式推导h-几何凸函数的积分不等式？
• RQ3 h-多重凸性在何种方式下统一了h-对数凸与h-几何凸性？
• RQ4 在何种条件下，h-对数凸性蕴含log f的h-凸性？
• RQ5 这些新类如何推广关于s-对数凸与s-几何凸函数的已知结果？

主要发现

• 本文证明了f是h-对数凸函数当且仅当log f是h-凸函数，建立了基本等价关系。
• 当h(t) + h(1-t) = 1时，h-对数凸函数也是h-凸函数，将两类函数联系起来。
• 推导出如下积分不等式：∫₀¹ f(x^t y^{1-t}) dt ≤ ∫₀¹ [f(x)]^{h(t)} [f(y)]^{h(1-t)} dt，推广了Hermite-Hadamard不等式。
• 对于两个h-几何凸函数f与g，利用具有指数p, q的Hölder不等式，其乘积积分被界定，得到一个四元上界。
• h-多重凸性的定义统一了h-对数凸与h-几何凸性，当λ = 0或λ = 1时分别退化为各自形式。
• 建立了Hermite-Hadamard型不等式：对数平均与算术平均积分的平均值，被h-加权几何平均积分上界控制。