[论文解读] Deflation and Certified Isolation of Singular Zeros of Polynomial Systems

Angelos Mantzaflaris, Bernard Mourrain|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种符号-数值算法，通过利用局部环结构和经过认证的数值计算，对多项式系统的奇异孤立零点进行认证。该方法引入了一种改进的逆系统计算方法，减少了中间线性系统的规模，并基于微分构造出一步退化技术，使牛顿求解器实现二次收敛，同时通过区间算法实现唯一性的认证。

ABSTRACT

We develop a new symbolic-numeric algorithm for the certification of singular isolated points, using their associated local ring structure and certified numerical computations. An improvement of an existing method to compute inverse systems is presented, which avoids redundant computation and reduces the size of the intermediate linear systems to solve. We derive a one-step deflation technique, from the description of the multiplicity structure in terms of differentials. The deflated system can be used in Newton-based iterative schemes with quadratic convergence. Starting from a polynomial system and a small-enough neighborhood, we obtain a criterion for the existence and uniqueness of a singular root of a given multiplicity structure, applying a well-chosen symbolic perturbation. Standard verification methods, based eg. on interval arithmetic and a fixed point theorem, are employed to certify that there exists a unique perturbed system with a singular root in the domain. Applications to topological degree computation and to the analysis of real branches of an implicit curve illustrate the method.

研究动机与目标

• 解决在系数近似或病态时，对多项式系统中奇异孤立根进行认证的挑战。
• 开发一种方法，通过利用重数结构对系统进行退化，使牛顿型求解器在多重根情况下恢复二次收敛。
• 通过符号扰动和区间算法提供对奇异根的认证验证，确保在给定区域内存在且唯一。
• 通过避免冗余计算并最小化中间线性系统规模，降低逆系统计算的计算成本。
• 通过计算奇异点处实分支的数量，实现对隐式曲线和曲面的拓扑分析。

提出的方法

• 该方法使用改进的逆系统算法计算多项式系统在奇异根处的原-对偶结构，避免冗余操作。
• 基于重数结构，通过将对偶空间中的微分泛函作用于原方程，推导出一步退化系统。
• 利用Mourrain的积分技术对对偶基进行经过认证的数值计算，构建退化系统，确保精度。
• 对系统施加符号扰动，将奇异根转化为扰动系统中的精确重根，从而实现认证。
• 使用区间算法和不动点定理验证奇异根的存在性和唯一性。
• 通过在对偶空间上乘法算子的迹，计算奇异点处的拓扑度和实分支数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高效计算多项式系统奇异孤立零点的重数结构？
• RQ2 构造一种能恢复牛顿法在多重根情况下二次收敛的退化系统的最有效方法是什么？
• RQ3 如何仅通过数值近似和符号扰动来认证奇异根的存在性和唯一性？
• RQ4 计算逆系统所需的中间线性系统最小规模是多少，如何进一步减小？
• RQ5 如何利用代数不变量计算隐式曲线在奇异点处的实分支数量？

主要发现

• 所提出的逆系统计算方法相比Macaulay方法显著减小了中间线性系统的规模：在示例6.2中，矩阵大小为9×9，而Macaulay方法为30×15。
• 在示例7.1中，该方法使用9×8的矩阵构造出包含21个方程的退化系统，而Macaulay方法需要30×15的矩阵。
• 对于重数为131的系统DZ1，该方法使用1450×524的矩阵，远小于Macaulay方法的4004×1365矩阵。
• 该方法成功计算了奇异点处的实分支数量：在示例6.2中，Br(f, (0,0)) = 6，由tdeg = 3推导得出。
• 在示例7.2中，该方法使用206×45的矩阵计算出重数为18的根，而Macaulay方法需要360×165的矩阵，显示出显著的规模缩减。
• 该方法可通过停止于较低深度结构实现部分退化，在示例7.2中仅得到三个方程的退化系统，经验证其雅可比行列式非零，值为64。