[论文解读] Deformation bicomplex of module-algebras

Donald Yau|ArXiv.org|Jul 24, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文为双代数 H 上的模代数构造了形变双复形，将霍奇希德上同调推广至同时形变代数与 H-模结构。研究证明，总复形的上同调控制形式形变，且 H² 的消失意味着刚性。该框架被扩展至模余代数、余模-(co)代数及(co)模双代数，每类结构均有相应的形变复形与上同调对形变的控制。

ABSTRACT

The deformation bicomplex of a module-algebra over a bialgebra is constructed. It is then applied to study algebraic deformations in which both the module structure and the algebra structure are deformed. The cases of module-coalgebras, comodule-(co)algebras, and (co)module-bialgebras are also considered.

研究动机与目标

• 为 H-模代数发展一种形变理论，同时形变代数与 H-模结构。
• 将经典结合代数与双代数的形变理论推广至包含模与余模结构的情形。
• 将形变复形扩展至模余代数、余模-(co)代数及(co)模双代数。
• 将无穷小形变识别为形变双复形中的 2-上循环，并将上同调与刚性联系起来。
• 在形变复形上构造上积，使每一行与每一列均具备微分分次代数结构。

提出的方法

• 将形变双复形 $ C_{\mathrm{MA}}^{**}(A) $ 定义为 $ \mathrm{Hoch}^{*}(H, \operatorname{Hom}(A^{\otimes*}, A)) $，其项为 $ \operatorname{Hom}(H^{\otimes q}, \operatorname{Hom}(A^{\otimes p}, A)) $。
• 通过次数平移构造总复形 $ C_{\mathrm{MA}}^{*}(A) $：$ C_{\mathrm{MA}}^{n}(A) = \bigoplus_{p+q=n+1} C_{\mathrm{MA}}^{p,q}(A) $。
• 通过 $ \operatorname{Hom}(H^{\otimes q}, A) $ 上的结合代数结构，为每一行 $ C_{\mathrm{MA}}^{*,q}(A) $ 赋予霍奇希德 $ \cup $-积。
• 通过 $ \operatorname{Hom}(A^{\otimes p}, A) $ 上的代数结构，为每一列 $ C_{\mathrm{MA}}^{p,*}(A) $ 赋予 $ \cup $-积，尤其在 $ p=1 $ 时具有非平凡性。
• 将构造推广至模余代数、余模-(co)代数及(co)模双代数，得到双复形与三复形。
• 将形变定义为幂级数 $ \Theta = \sum \theta_n t^n $，其系数属于形变复形，且满足模结构与代数结构的相容性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何同时形变 H-模代数上的代数与模结构？
• RQ2 何种上同调框架可对这类同步形变进行分类？
• RQ3 模余代数、余模代数及(co)模双代数的形变双复形如何推广经典形变理论？
• RQ4 形变复形中的 $ \cup $-积起何作用？它是否使复形具备微分分次代数结构？
• RQ5 在何种上同调条件下，模双代数是刚性的，即所有形变均与平凡形变等价？

主要发现

• H-模代数 A 的形变双复形 $ C_{\mathrm{MA}}^{**}(A) $ 同构于 $ \mathrm{Hoch}^{*}(H, \operatorname{Hom}(A^{\otimes*}, A)) $，其第 0 行即为 A 的霍奇希德复形。
• 每一行 $ C_{\mathrm{MA}}^{*,q}(A) $ 同构于以 $ \operatorname{Hom}(H^{\otimes q}, A) $ 为系数的霍奇希德上链复形，因此通过 $ \cup $-积继承微分分次结合代数结构。
• 任何 H-模代数形变的无穷小量均为总复形 $ C_{\mathrm{MA}}^{*}(A) $ 中的 2-上循环，其上同调类决定形变的等价类。
• 若 $ H^{2}(C_{\mathrm{MA}}^{*}(A)) = 0 $，则 H-模代数的所有形变均与平凡形变等价，表明其具有刚性。
• H-余模双代数 A 的形变三复形 $ C_{\mathrm{CB}}^{***}(A) $ 具有三个微分，且在三个方向上均存在 $ \cup $-积，使相应上链复形成为 DGA。
• 余模双代数形变三复形的总复形 $ C_{\mathrm{CB}}^{*}(A) $ 满足 $ C_{\mathrm{CB}}^{1}(A) = \operatorname{Bider}(A) $ 且 $ C_{\mathrm{CB}}^{2}(A) = \operatorname{Hom}(A, H \otimes A) \oplus \operatorname{Hom}(A^{\otimes 2}, A) \oplus \operatorname{Hom}(A, A^{\otimes 2}) $，且若 $ H^{2}_{\mathrm{CB}}(A) $ 消失，则 A 作为余模双代数具有刚性。