[论文解读] Deformation complex of a d-algebra is a (d+1)-algebra

Dmitry Tamarkin|ArXiv.org|Oct 7, 2000

Advanced Scientific Research Methods被引用 23

一句话总结

本文提供了关于 $d$-代数的形变复形在平移 $d$ 后自然具有 $(d+1)$-代数结构的纯代数证明。通过使用 $d$-代数的同伦理论以及对余阿廷余代数上函子的表示性，本文在形变复形上构造了一个 $d$-双代数结构，该结构在 ${\rm def}(X)[-d]$ 上诱导出同伦 $(d+1)$-代数结构，从而在特征零情形下代数地建立了 Kontsevich 的同调等价结果。

ABSTRACT

We prove thst the deformation complex of a d-algebra (shifted by 1-d) carries a natural structure of (d+1)-algebra. This is a purely algebraic version of a similkar theorem of Kontsevich.

研究动机与目标

• 提供 Kontsevich 关于 $d$-代数形变复形定理的变体的纯代数证明。
• 证明 $d$-代数 $X$ 的形变复形 ${\rm def}(X)$ 在平移 $d$ 后自然具有 $(d+1)$-代数结构。
• 利用 Koszul 操作子理论与同伦 $d$-代数理论，将形变复形定义为巴尔构造 $X^\lor$ 上导子的微分分次李代数。
• 证明在恒等映射的正式邻域中，态射函子可由一个 $d$-双代数表示，该表示诱导出 $(d+1)$-代数结构。

提出的方法

• 通过在由 $V[-d]$ 生成的余自由 $d$-余代数上的微分来定义同伦 $d$-代数，推广了结合代数与李代数的巴尔构造。
• 将形变复形 ${\rm def}(X)$ 构造为 $d$-余代数 $X^\lor = {\rm Cofree}_d(V[-d])$ 上导子的微分分次李代数，其二次微分来自 $d$-代数结构。
• 对余阿廷 $d$-余代数 $a$，引入函子 $F^\phi_{X,Y}(a) = \{ \text{态射 } X^\lor \otimes a \to Y^\lor \mid \text{通过映射为 } \phi \}$，并证明其可由 $d$-余代数 $\underline{\rm Hom}^\phi(X,Y)$ 表示。
• 证明 $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$ 是一个 $d$-双代数，具有结合乘法与余乘法，并作为 $d$-余代数同构于 ${\rm def}(X)$ 上的余自由 $d$-余代数。
• 利用该事实：将 $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$ 限制到余交换余代数子范畴时，得到一个与 $U({\rm def}(X))$ 同构的霍普夫代数，通过 Poincar\'e-Birkhoff-Witt 同构。
• 通过分析 $d$-双代数的本原元素并验证分次李余代数 $CofreeLie(a'[1])[d-1]$ 上微分的上循环条件，推导出 ${\rm def}(X)[-d]$ 上的同伦 $(d+1)$-代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征零情形下，$d$-代数的形变复形在平移 $d$ 后是否自然具有 $(d+1)$-代数结构？
• RQ2 该结构能否完全通过代数方法构造，而无需依赖拓扑操作子或有理同伦理论？
• RQ3 ${\rm def}(X)[-d]$ 上的 $(d+1)$-代数结构与 $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$ 上的 $d$-双代数结构有何关系？
• RQ4 ${\rm def}(X)$ 上的李代数结构是否可作为 $d$-双代数结构的本原部分被恢复？
• RQ5 Poincar\'e-Birkhoff-Witt 同构在联系 $C(\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X))$ 上的霍普夫代数结构与 $U({\rm def}(X))$ 的作用是什么？

主要发现

• ${\rm def}(X)$ 作为分次向量空间同构于复形 $a'[d]$，其中 $a'$ 是由 ${\rm Hom}_k(V^\lor, V)$ 与扭曲微分构成的 $d$-代数。
• $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$ 上的 $d$-双代数结构在 ${\rm def}(X)[-d]$ 上诱导出同伦 $(d+1)$-代数结构，其李括号与交换乘积与微分相容。
• $\underline{\rm Hom}^{\rm Id}(X,X)$ 的本原元素构成一个微分李双代数，同构于 $CofreeLie(a'[1])[d-1]$，满足上循环条件 $\delta([x,y]) = [\delta x, y] + (-1)^{|x|(d-1)}[x, \delta y]$。
• 将 $d$-双代数结构限制到子余代数 $S(a'[d])$ 上，得到一个与 $U({\rm def}(X))$ 同构的霍普夫代数，同构映射即为 Poincar\'e-Birkhoff-Witt 映射。
• ${\rm def}(X)$ 上的李代数结构与 $CofreeLie(a'[1])[d-1]$ 上本原元素的换位子一致，因此可从 $(d+1)$-代数结构中恢复。
• $d$-代数 $a'$ 的换位子是同伦平凡的，即在微分复形中为恰当元，这与 $(d+1)$-代数结构作为更高同伦推广的一致性相符。