[论文解读] Deformation Cones of nested Braid fans

Federico Castillo, Fu Liu|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文引入嵌套的Braid扇作为Braid扇的细化，并构造嵌套的正多面体作为其法扇退化的多面体。通过变形锥，提供了广义正多面体的次模定理的组合证明；建立了嵌套正多面体的面与有序分划偏序集中的链之间的一一对应关系；并证明了嵌套Braid扇是Braid扇的重心剖分，从而为研究边方向具有形式 $e_i + e_j - e_k - e_ ho$ 的多面体提供了新的组合框架。主要贡献在于提出了一套系统的方法来计算变形锥，并将广义正多面体的结果推广至嵌套情形。

ABSTRACT

Generalized permutohedra are deformations of regular permutohedra, and arise in many different fields of mathematics. One important characterization of generalized permutohedra is the Submodular Theorem, which is related to the deformation cone of the Braid fan. We lay out general techniques for determining deformation cones of a fixed polytope and apply it to the Braid fan to obtain a natural combinatorial proof for the Submodular Theorem. We also consider a refinement of the Braid fan, called the nested Braid fan, and construct usual (respectively, generalized) nested permutohedra which have the nested Braid fan as (respectively, refining) their normal fan. We extend many results on generalized permutohedra to this new family of polytopes, including a one-to-one correspondence between faces of nested permutohedra and chains in ordered partition posets, and a theorem analogous to the Submodular Theorem. Finally, we show that the nested Braid fan is the barycentric subdivision of the Braid fan, which gives another way to construct this new combinatorial object.

研究动机与目标

• 开发用于计算固定多面体变形锥的一般技术，特别是针对Braid扇。
• 通过变形锥，为广义正多面体的次模定理提供自然的组合证明。
• 引入并研究作为Braid扇细化的嵌套Braid扇，构造以该扇为法扇的嵌套正多面体。
• 将广义正多面体的结果（如面-面对应关系与次模性）推广至新的嵌套正多面体族。
• 证明嵌套Braid扇是Braid扇的重心剖分，从而为该组合对象提供一种新构造。

提出的方法

• 将多面体 $P_0$ 的形变定义为不经过任何顶点的面移动，其条件是 $P_0$ 的顶点在形变后的多面体中仍保持为顶点。
• 利用形变与法扇退化的等价性，将变形锥表征为所有向量 $\mathbf{b}$ 的集合，使得多面体 $\{\mathbf{x} \in V : A\mathbf{x} \leq \mathbf{b}\}$ 是 $P_0$ 的形变。
• 通过根据坐标及其一阶差分的相对顺序对点进行分组，将嵌套Braid扇 $\mathrm{Br}_2^d$ 定义为Braid扇的细化。
• 通过由有序对排列与整数向量参数化的构造方法，构建普通及广义嵌套正多面体，其法扇退化自嵌套Braid扇。
• 建立嵌套正多面体的面与有序分划偏序集中链之间的一一对应关系，推广了广义正多面体中已知的面-面对应关系。
• 通过证明其源于特定顺序的星形剖分，证明嵌套Braid扇是Braid扇的重心剖分，并验证该扇是投影的。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种普通或广义嵌套正多面体，使得对应于一对排列的顶点位于嵌套Braid扇中对应面的法锥内，类似于普通正多面体中的性质？
• RQ2 能否将permuto-associahedron 实现为普通嵌套正多面体的形变？
• RQ3 通过使用二阶差分进一步细化嵌套Braid扇所得到的扇是否为投影扇，且是否具有组合解释？
• RQ4 对单纯形法扇的哪些星形剖分序列会产生Braid扇的退化？
• RQ5 由 $x_i + x_j = x_k + x_\ell$ 对所有元组 $(i,j,k,\ell)$（包括重复索引）定义的超平面排列的结构是什么，它有多少个区域？

主要发现

• 通过组合方法表征了Braid扇的变形锥，从而通过广义正多面体与满足 $f(\emptyset) = 0$ 的 $2^{[d+1]}$ 上的次模函数之间的对应关系，为次模定理提供了新证明。
• 嵌套Braid扇 $\mathrm{Br}_2^d$ 是Braid扇 $\mathrm{Br}_d$ 的重心剖分，确立了该扇的新几何与组合构造。
• 建立了嵌套正多面体的面与有序分划偏序集中链之间的一一对应关系，推广了广义正多面体中已知的面-面对应关系。
• 本文证明了广义正多面体恰好是多秩多面体的平移，并为此等价关系提供了直接的组合证明。
• 普通嵌套正多面体 $\Pi^2_d(M,N)$ 的法扇是嵌套Braid扇，且该扇是投影的，从而确认了存在一类具有良好行为的多面体族，其边方向具有形式 $e_i + e_j - e_k - e_\ell$。
• 作者证明了Braid扇的变形锥恰好对应于满足 $f(\emptyset) = 0$ 的 $2^{[d+1]}$ 上的次模函数，且该对应关系是双射，从而以纯组合方式证明了次模定理。