[论文解读] Deformation of matrix-valued orthogonal polynomials related to Gelfand pairs

Maarten van Pruijssen, Pablo Román|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对与一维紧致 Gelfand 对相关联的矩阵值正交多项式（MVOPs）的形变方法，利用全球函数 $\Psi_0$ 在形变下保持 Sturm-Liouville 性质。该文推导了在 Gelfand 对 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ 下 $\Psi_0$ 关于 Krawtchouk 多项式的显式公式，证明了与 $\mathrm{SU}(n)$ 相关的族彼此为形变关系，并表明与 $\mathrm{Sp}(n)$ 相关的族产生了一个带有额外自由参数的新族。

ABSTRACT

In this paper we present a method to obtain deformations of families of matrix-valued orthogonal polynomials that are associated to the representation theory of compact Gelfand pairs. These polynomials have the Sturm-Liouville property in the sense that they are simultaneous eigenfunctions of a symmetric second order differential operator and we deform this operator accordingly so that the deformed families also have the Sturm-Liouville property. Our strategy is to deform the system of spherical functions that is related to the matrix-valued orthogonal polynomials and then check that the polynomial structure is respected by the deformation. Crucial in these considerations is the full spherical function $Ψ_{0}$, which relates the spherical functions to the polynomials. We prove an explicit formula for $Ψ_{0}$ in terms of Krawtchouk polynomials for the Gelfand pair $(\mathrm{SU}(2) imes\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$. For the matrix-valued orthogonal polynomials associated to this pair, a deformation was already available by different methods and we show that our method gives same results using explicit knowledge of $Ψ_{0}$. Furthermore we apply our method to some of the examples of size $2 imes2$ for more general Gelfand pairs. We prove that the families related to the groups $\mathrm{SU}(n)$ are deformations of one another. On the other hand, the families associated to the symplectic groups $\mathrm{Sp}(n)$ give rise to a new family with an extra free parameter.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的方法，对与一维紧致 Gelfand 对相关联的矩阵值正交多项式（MVOPs）进行形变，同时保持其 Sturm-Liouville 性质。
• 建立球函数形变与 MVOP 中多项式结构保持之间的联系。
• 为 Gelfand 对 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ 提供全球函数 $\Psi_0$ 关于经典正交多项式的显式公式。
• 证明该方法可重现 $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$ 的已知形变，并可推广至其他 Gelfand 对，包括 $\mathrm{SU}(n)$ 和 $\mathrm{Sp}(n)$。
• 表明形变过程允许移位 $\partial_y$，即形变后的 MVOP 族的导数对应于形变链中下一个族的多项式。

提出的方法

• 该方法对与 MVOPs 相关联的球函数系统进行形变，利用全球函数 $\Psi_0$ 作为球函数与多项式之间的桥梁。
• 利用 $\Psi_0$ 关于 Krawtchouk 多项式的显式表达式，确保形变后的系统保持多项式结构。
• 将形变应用于微分算子 $D$，使得形变后的族保持为共同特征函数，从而维持 Sturm-Liouville 性质。
• 该方法依赖于 $\Psi_0$ 将球函数与 MVOPs 关联的事实，其形变可诱导整个 MVOP 系统的一致形变。
• 通过验证：对于 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ 对，所推导的形变与先前工作中的已知结果一致，从而验证了该方法。
• 将该方法应用于文献 [22] 中的 $2\times2$ 例子，发现与 $\mathrm{SU}(n)$ 相关的族构成单一形变族，而与 $\mathrm{Sp}(n)$ 相关的族则引入了一个带有额外自由参数的新族。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为与一维紧致 Gelfand 对相关联的 MVOPs 构建一种系统化形变方法，以保持其 Sturm-Liouville 性质？
• RQ2 Gelfand 对 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$ 的全球函数 $\Psi_0$ 的显式形式是什么，其表达式是否可表示为经典正交多项式？
• RQ3 在所提方法下，与 $\mathrm{SU}(n)$ 相关的 MVOP 族是否构成单一形变族？
• RQ4 该形变方法是否能为其他 Gelfand 对（如 $\mathrm{Sp}(n)$）产生新族？若产生，是否引入了额外的自由参数？
• RQ5 形变过程是否与移位 $\partial_y$ 兼容，即某一族中多项式的导数是否对应于下一族中的多项式？

主要发现

• 对于 Gelfand 对 $(\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2),\mathrm{diag}(\mathrm{SU}(2)))$，全球函数 $\Psi_0$ 显式表示为 Krawtchouk 多项式的线性组合，从而实现了相关联 MVOPs 的精确形变。
• 所提出的形变方法重现了 $\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$ 对下矩阵切比雪夫多项式形变为矩阵 Gegenbauer 多项式的已知结果。
• 与 $\mathrm{SU}(n)$ 相关的 MVOP 族被证明彼此为形变关系，构成一个在所提方法下连续的单一族。
• 对于辛群 $\mathrm{Sp}(n)$，该方法产生了一个带有额外自由参数的新 MVOP 族，该参数在原始族中并不存在。
• 形变过程与移位 $\partial_y$ 兼容，即 $\kappa$-阶族中多项式的导数对应于 $\kappa+1$-阶族中的多项式，从而在形变链中保持了结构一致性。
• 该方法在所研究的情形下建立了形变后 MVOPs 的 Rodrigues 型公式，为形变族提供了构造性表征。