[论文解读] Deformation of quotients on a product

W. D. Gillam|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文为乘积概形上的商构造了导出形变理论框架，引入约化 Atiyah 类以在光滑曲线上向量丛的 Quot 概形上构造一个完美形变理论。通过利用 $G_m$-等变余切复形与 Serre 对偶性，证明当核为局部自由时，自然态射 $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ 构成完美形变理论，从而基于导出范畴给出了一个内在的、不依赖于人为构造的形变理论构造方法。

ABSTRACT

We consider the general problem of deforming a surjective map of modules $f : E o F$ over a coproduct sheaf of rings $B=B_1 \otimes_A B_2$ when the domain module $E = B_1 \otimes_A E_2$ is obtained via extension of scalars from a $B_2$-module $E_2$. Assuming $B_1$ is flat over $A$, we show that the Atiyah class morphism $F o \LL_{B/B_2} \otimes^{\bL} F[1]$ in the derived category $D(B)$ factors naturally through (the shift of) a morphism $β: \Ker f o \LL_{B/B_2} \otimes^{\bL} F$. We describe the obstruction to lifting $f$ over a (square zero) extension $B_1' o B_1$ in terms of $β$ and the class of the extension. As an application, we use the reduced Atiyah class to construct a perfect obstruction theory on the Quot scheme of a vector bundle on a smooth curve (and more generally).

研究动机与目标

• 为乘积概形 $X \times Y$ 上的满射态射 $f: E \to F$ 构建导出形变理论，其中 $E$ 是从 $Y$ 拉回的丛。
• 通过态射 $\beta: \ker f \to \mathbb{L}_{B/B_2} \otimes^\mathbf{L} F$ 描述此类态射在平方零扩张上提升的障碍。
• 通过约化 Atiyah 类在光滑曲线上向量丛的 Quot 概形上构造完美形变理论。
• 仅基于通用商列，提供一种内在的、基于导出范畴的形变理论构造方法，避免使用人为构造。

提出的方法

• 利用 $G_m$-等变余切复形，在导出范畴中通过交换图表将 Atiyah 类与形变问题联系起来。
• 引入约化 Atiyah 类 $\beta: N \to \pi_1^*\mathbb{L}_X \otimes^\mathbf{L} F$ 作为商形变理论中的关键态射。
• 应用权一子复形函子 $k^1$，从等变导出范畴中提取经典 Atiyah 类与约化 Atiyah 类。
• 利用 Serre 对偶性与同调与基变换定理，证明当 $Y$ 为 Gorenstein 曲线时，$\mathbb{E} = \mathbf{R}\mathcal{H}om(\mathbf{R}\pi_{1*}\mathbf{R}\mathcal{H}om(N,F), \mathcal{O}_X)$ 具有完美幅度 $\subseteq [-1,0]$。
• 通过 Yoneda 引理将 $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ 识别为 $D(X)$ 中的态射，并在适当假设下证明其为完美形变理论。
• 应用同构 $\operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbb{L}_X, I) \xrightarrow{\sim} \operatorname{Hom}_{D(X\times Y)}(N, \pi_1^*I \otimes^\mathbf{L} F)$，将形变函子与形变理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用导出范畴与约化 Atiyah 类描述在乘积概形上商态射的提升障碍？
• RQ2 在何种条件下，自然态射 $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ 在 Quot 概形上构成完美形变理论？
• RQ3 约化 Atiyah 类能否用于仅基于通用商列内在地构造完美形变理论？
• RQ4 Serre 对偶性如何与乘积上的商的导出形变理论相互作用？
• RQ5 在何种条件下，复形 $\mathbb{E} = \mathbf{R}\mathcal{H}om(\mathbf{R}\pi_{1*}\mathbf{R}\mathcal{H}om(N,F), \mathcal{O}_X)$ 具有完美幅度 $\subseteq [-1,0]$？

主要发现

• 约化 Atiyah 类 $\beta: \ker f \to \mathbb{L}_{B/B_2} \otimes^\mathbf{L} F$ 因子化了 Atiyah 类态射，并控制了 $f$ 在平方零扩张上提升的障碍。
• 当 $X$ 为 Quot 概形的开子集时，自然变换 $\overline{\beta}: \operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbb{L}_X, \_ \,) \to \operatorname{Hom}_{D(X\times Y)}(N, \pi_1^*\_ \otimes^\mathbf{L} F)$ 在 $H^0$ 上为同构，在 $H^1$ 上为单射。
• 当 $Y$ 为 Gorenstein 曲线且 $N$ 局部自由时，复形 $\mathbb{E} = \mathbf{R}\mathcal{H}om(\mathbf{R}\pi_{1*}\mathbf{R}\mathcal{H}om(N,F), \mathcal{O}_X)$ 具有完美幅度 $\subseteq [-1,0]$。
• 通过 Yoneda 引理得到的态射 $\mathbb{E} \to \mathbb{L}_X$ 在所述假设下构成 $X$ 上的完美形变理论。
• 该构造在 Quot 概形上提供了一个内在的、基于导出范畴的完美形变理论，仅依赖于通用商列，无需借助辅助构造。
• 当 $Y$ 为光滑曲线时，通用商的核 $N$ 始终局部自由，因此该完美形变理论在 Quot 概形的开子集上普遍适用。