[论文解读] Deformation of Sasakian metrics

Hiraku Nozawa|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 4

一句话总结

该论文证明了：在Sasakian流形上，Reeb流的小形变允许相容的Sasakian度量当且仅当基本Euler类的$(0,2)$分量为零。通过利用横截全纯黎曼流的形变理论及基本Dolbeault上同调的Kodaira-Akizuki-Nakano型消失定理，作者证明了正Sasakian度量在这些形变下的稳定性，从而解决了与流的横截几何上同调结构相关的障碍。

ABSTRACT

Deformations of the Reeb flow of a Sasakian manifold as transversely Kähler flows may not admit compatible Sasakian metrics anymore. We show that the triviality of the (0,2)-component of the basic Euler class characterizes the existence of compatible Sasakian metrics for given small deformations of the Reeb flow as transversely holomorphic Riemannian flows. We also prove a Kodaira-Akizuki-Nakano type vanishing theorem for basic Dolbeault cohomology of homologically orientable transversely Kähler foliations. As a consequence of these results, we show that any small deformations of the Reeb flow of a positive Sasakian manifold admit compatible Sasakian metrics.

研究动机与目标

• 表征Sasakian流形上Reeb流的小形变允许相容Sasakian度量的条件。
• 识别此类相容性的障碍，特别关注基本Euler类的$(0,2)$分量。
• 在同调可定向横截Kähler叶状结构的背景下，建立基本Dolbeault上同调的Kodaira-Akizuki-Nakano型消失定理。
• 证明正Sasakian度量在Reeb流小形变下的稳定性。
• 分析具有固定横截Kähler流结构的Sasakian度量模空间。

提出的方法

• 作者将Reeb流的形变分析为闭流形上的横截全息黎曼流。
• 他们引入微分算子$ D $，并研究黎曼流的平均曲率形式，以将几何数据与上同调不变量联系起来。
• 关键的技术工具是Kodaira-Spencer理论在自伴强椭圆微分算子族上的应用，利用了几何时紧致黎曼流的不变性。
• 通过Bochner-Kodaira-Nakano恒等式和$ \mathcal{F} $-纤维化Hermitian全纯线丛上的Hodge分解，证明了基本Dolbeault上同调的消失定理。
• 证明依赖于通过El Kacimi-Alaoui–Hector形式在基本形式上构造内积，并建立形式伴随算子。
• 通过证明基本Euler类的$(0,2)$分量消失可确保相容Sasakian度量的光滑族存在，从而得出稳定性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Sasakian流形上Reeb流的小形变在何种条件下允许相容的Sasakian度量？
• RQ2 基本Euler类的$(0,2)$分量在阻碍相容Sasakian度量存在性中起什么作用？
• RQ3 能否为横截Kähler叶状结构的基本Dolbeault上同调建立Kodaira-Akizuki-Nakano型消失定理？
• RQ4 正Sasakian度量在Reeb流小形变下是否保持稳定性？
• RQ5 Sasakian度量的模空间与底层横截Kähler流结构有何关系？

主要发现

• Reeb流的小形变允许相容Sasakian度量的条件，由基本Euler类的$(0,2)$分量为平凡所刻画。
• 对于同调可定向的横截Kähler叶状结构，基本Dolbeault上同调存在Kodaira-Akizuki-Nakano型消失定理，从而实现上同调控制。
• 对于正Sasakian流形，所有Reeb流的小形变都允许相容的Sasakian度量，因为横截Kähler结构的正性导致$(0,2)$分量消失。
• 在$ S^{2n-1} $上的标准Sasakian结构情形下，Sasakian度量的同构类模空间同构于其底层横截Kähler流的同构类空间。
• 对于复环面上的圆丛，当底流非射影时，可对Reeb流进行形变，使得不存在相容的Sasakian度量，从而表明$(0,2)$分量障碍是非平凡的。
• 在$ \mathbb{C}P^{n-1} $上，横截全纯流形形变的Kuranishi空间被识别为$ H^0(\mathbb{C}P^{n-1}, T^{1,0}\mathbb{C}P^{n-1}) $，且由于$ H^{0,2}(\mathbb{C}P^{n-1}) = 0 $，标准Sasakian度量是稳定的。