[论文解读] Deformation of singular connections I: $G_{2}-$instantons with point singularities

Yuanqi Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文为7-流形上具有点奇点的$G_2$-瞬子所关联的狄拉克型算子建立了弗雷德霍姆理论，证明在$G_2$-结构的小扰动下，此类瞬子及其奇点仍可被检测到。关键结果表明，对于具有平凡余核的可接受$G_2$-瞬子，附近的$G_2$-结构会存在$G_2$-单极子，其在奇点处的切锥联络与原瞬子相同，从而保持奇点结构不变。

ABSTRACT

In dimension 7, we establish a Fredholm theory for a Dirac-type operator associated to a connection with point singularities. There are two applications. $1$. over a closed 7-manifold, under some natural conditions, a $G_{2}-$instanton and its point singularities can still be "seen" when the $G_{2}-$structure is properly perturbed. $2$. over a ball in $\R^{7}$, for any almost-Euclidean $G_{2}-$structure, there exists a $G_{2}-$monopole asymptotic to an arbitrary Hermitian Yang-Mills connection on $S^{6}$.

研究动机与目标

• 为7-流形上具有点奇点的$G_2$-瞬子发展变形理论。
• 理解$G_2$-瞬子的奇点在$G_2$-结构的小扰动下是否持续存在或消失。
• 在奇点情形下，为$G_2$-瞬子方程的线性化算子建立弗雷德霍姆理论。
• 刻画线性化算子的余核，并在一般情形下证明横截性。
• 在模型锥情形下，构造渐近于$S^6$上酉杨-米尔斯联络的$G_2$-单极子方程解。

提出的方法

• 通过加权索伯列夫空间和赫尔德空间，为奇异联络相关联的狄拉克型算子发展弗雷德霍姆理论。
• 对锥联络上的拉普拉斯算子应用变量分离法，借助伽辽金法构造局部逆算子。
• 应用多格利斯-尼伦伯格施陶尔估计，并结合从$W^{1,2}_{p,b}$-估计导出的新$C^0$-估计，其中$p$足够负。
• 引入一种混合函数空间，结合加权$C^{2,eta}$与加权$W^{1,2}_{p,b}$范数，以控制非线性项。
• 使用截断函数和带加权测度的分部积分法，推导能量估计并控制曲率的爆破。
• 证明线性化算子$L_A$在适当的加权索伯列夫空间之间是$(p,b)$-弗雷德霍姆算子，从而支持变形理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$G_2$-结构的小扰动下，具有点奇点的$G_2$-瞬子是否可变形，且奇点是否持续存在？
• RQ2 在奇点情形下，$G_2$-瞬子方程的线性化算子是否为弗雷德霍姆算子，其指标为何？
• RQ3 能否构造渐近匹配奇点处切锥联络的$G_2$-单极子？
• RQ4 线性化算子的余核结构如何，其在一般情形下是否平凡？
• RQ5 如何利用加权函数空间控制$G_2$-瞬子方程在奇点附近的非线性项？

主要发现

• 对于$A$-通用的负$p$值及$b \geq 0$，线性化算子$L_A$在加权索伯列夫空间$W^{1,2}_{p,b}$与$L^2_{p,b}$之间是$(p,b)$-弗雷德霍姆算子，从而建立了基础性的弗雷德霍姆理论。
• 通过结合足够负的$p$值的$W^{1,2}_{p,b}$-估计，实现了$C^0$-估计，这对控制非线性项至关重要。
• 对于一般奇异瞬子，$L_A$的余核是平凡的，表明模空间紧化中具有横截性。
• 对于$\mathbb{R}^7$中球上的任意几乎欧几里得$G_2$-结构，存在一个$G_2$-单极子，其渐近于$S^6$上的酉杨-米尔斯联络，且在原点处具有相同的切锥。
• 在模型情形下，锥联络上拉普拉斯算子的局部逆算子构造依赖于变量分离法与伽辽金法。
• 通过截断函数与带加权测度的分部积分法导出的能量估计表明，奇点处的曲率爆破受连接一形式及其导数的$L^2$-范数控制。