[论文解读] Deformation Openness and Closedness of Various Classes of Compact Complex Manifolds; Examples

Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文研究了紧复流形在全纯族水平下对关键几何性质——凯勒、平衡、强高斯宏（sG）、$\nabla\bar{\partial}$-引理及弗罗利彻谱序列在 $E_1$ 退化——的形变开性与闭性。研究发现，sG 条件在理解射影流形与莫伊舍雄流形的形变极限中起核心作用，并通过例子表明，$\nabla\bar{\partial}$-引理与弗罗利彻退化在一般情况下并非形变开或形变闭，尤其在维数 $n \geq 3$ 时。主要贡献在于利用扭量空间与幂零流形作为关键反例，阐明了这些性质在形变下无法保持的原因。

ABSTRACT

We review the relations between compact complex manifolds carrying various types of Hermitian metrics (Kähler, balanced or {\it strongly Gauduchon}) and those satisfying the $\partial\bar\partial$-lemma or the degeneration at $E_1$ of the Frölicher spectral sequence, as well as the behaviour of these properties under holomorphic deformations. The emphasis will be placed on the notion of {\it strongly Gauduchon} (sG) manifolds that we introduced recently in the study of deformation limits of projective and Moishezon manifolds. Various examples of sG and non-sG manifolds are exhibited while a range of constructions already known in the literature are reviewed and reinterpreted from this new standpoint.

研究动机与目标

• 分析凯勒、平衡、强高斯宏（sG）等赫米特度量类在紧复流形全纯形变下的行为。
• 澄清 $\nabla\bar{\partial}$-引理、弗罗利彻谱序列在 $E_1$ 退化，与凯勒当前或整同调类之间的关系。
• 确定 $\nabla\bar{\partial}$-引理与弗罗利彻退化在复维数 $n \geq 3$ 时是否为形变开或形变闭性质。
• 研究扭量空间与幂零流形作为几何结构形变不变性测试平台的作用。
• 刻画扭量空间上 $\nabla\bar{\partial}$-引理成立的条件，尤其与 ${\cal C}$ 类及莫伊舍雄性质的关系。

提出的方法

• 以强高斯宏（sG）度量为核心工具，其定义为 $\partial\omega^{n-1}$ 是 $\bar{\partial}$-恰当，用于分析形变极限。
• 应用 Demailly-Paun 与 Ji-Shiffman 定理，通过凯勒当前与整同调类的存在性来刻画 ${\cal C}$ 类与莫伊舍雄流形。
• 利用上同调准则分析 $\partial\bar{\partial}$-引理与弗罗利彻谱序列在 $E_1$ 退化对形变不变性的影响。
• 采用 Eastwood-Singer 构造方法，对黎曼曲面上秩二向量丛进行稳定形变，以生成扭量空间族。
• 利用幂零流形表明，$\partial\bar{\partial}$-引理蕴含凯勒性，因此在幂零流形类中，仅复环面同时满足两者。
• 研究 Campana 与 LeBrun-Poon 的扭量空间，检验 $\partial\bar{\partial}$-引理在非莫伊舍雄纤维上是否在形变下保持，尤其关注其在非莫伊舍雄纤维上的失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否 $\partial\bar{\partial}$-引理是形变开的？即，若全纯族的中心纤维满足 $\partial\bar{\partial}$-引理，附近纤维是否也满足？
• RQ2 是否 $\partial\bar{\partial}$-引理是形变闭的？即，若所有附近纤维满足 $\partial\bar{\partial}$-引理，中心纤维是否也必须满足？
• RQ3 $\partial\bar{\partial}$-引理能否在非 ${\cal C}$ 类的扭量空间上成立？
• RQ4 是否存在扭量空间使得弗罗利彻谱序列在 $E_1$ 退化但 $\partial\bar{\partial}$-引理不成立？
• RQ5 是否存在对基四维流形 $M$ 的几何条件，可刻画扭量空间 $Z$ 满足 $\partial\bar{\partial}$-引理的情形？

主要发现

• $\partial\bar{\partial}$-引理并非形变开：存在全纯族，其中中心纤维满足 $\partial\bar{\partial}$-引理，但附近纤维不满足。
• $\partial\bar{\partial}$-引理并非形变闭：存在族，其中所有附近纤维满足 $\partial\bar{\partial}$-引理，但中心纤维不满足。
• Campana 与 LeBrun-Poon 的扭量空间例子表明，非莫伊舍雄纤维上 $\partial\bar{\partial}$-引理失效，意味着若中心纤维为莫伊舍雄，则该性质非形变开。
• 在维数 $n \geq 3$ 时，凯勒 $\Rightarrow$ 平衡 $\Rightarrow$ sG $\Rightarrow$ 高斯宏的蕴含关系是严格的；与 $n=2$ 情况不同，不存在等价关系。
• 幂零流形满足 $\partial\bar{\partial}$-引理当且仅当其为复环面，表明在此类中 $\partial\bar{\partial}$-引理蕴含凯勒性。
• Eastwood-Singer 构造中稳定形变的存在性允许选择满足 $\partial\bar{\partial}$-引理的纤维，但无法保证在所有此类族中均成立。