[论文解读] Deformation principle and problem of parallelism in geometry and physics

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Oct 27, 2002

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出一种形变原理，通过世界函数对欧几里得几何进行形变，构造非均匀几何，挑战黎曼几何中平行性的定义一致性。文章认为，传统的黎曼方法导致绝对平行性的缺失，并排斥非黎曼几何，进而提出通过包含普朗克常数的形变函数，为量子效应提供几何基础。

ABSTRACT

The deformation principle admits one to obtain a very broad class of nonuniform geometries as a result of deformation of the proper Euclidean geometry. The Riemannian geometry is also obtained by means of a deformation of the Euclidean geometry. Application of the deformation principle appears to be not consecutive, and the Riemannian geometry appears to be not completely consistent. Two different definitions of two vectors parallelism are investigated and compared. The first definitions is based on the deformation principle. The second definition is the conventional definition of parallelism, which is used in the Riemannian geometry. It is shown, that the second definition is inconsistent. It leads to absence of absolute parallelism in Riemannian geometry and to discrimination of outcome outside the framework of the Riemannian geometry at description of the space-time geometry.

研究动机与目标

• 通过世界函数对欧几里得几何进行形变，建立基于物理几何，避免依赖公理系统。
• 挑战传统黎曼几何中平行性的定义，作者认为该定义导致不一致且缺乏绝对平行性。
• 证明闵可夫斯基时空几何并非真正的物理几何，因为在存在非退化的类时管状结构时，粒子运动呈现随机性。
• 提出一种新的时空几何，引入量子常数 ℏ，将非相对论性量子效应解释为几何现象。
• 通过基于形变的定义，解决平行性问题，确保各类几何中绝对平行性的保持。

提出的方法

• 通过在所有几何定义和关系中，用形变的世界函数 σ_A 替代欧几里得世界函数 σ_E，构建物理几何。
• 以世界函数 σ 的形式，即 σ-内蕴地定义几何对象和关系，确保形变下的一致性。
• 使用关系 |(e·e)(x·x) - (e·x)²| = 0 定义“直线”，以向量形式表达，将该概念推广至黎曼几何之外。
• 在闵可夫斯基世界函数 σ = σ_M + D(σ_M) 中引入形变函数 D(σ_M)，以模拟非退化的类时管状结构和随机运动。
• 当 σ_M > σ₀ ≈ ℏ/(2bc) 时，设定 D(σ_M) = ℏ/(2bc)，以几何方式嵌入量子效应，其中 b 为新普适常数。
• 应用形变原理，推导出一种一致的向量平行性定义，避免黎曼方法中的模糊性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过欧几里得几何的形变，在不依赖公理系统的情况下，构建出一致的非黎曼几何？
• RQ2 为何传统黎曼几何中平行性的定义无法保证绝对平行性？其物理后果是什么？
• RQ3 当形变函数 D(σ_M) ≠ 0 时，对时空中粒子运动的决定性有何影响？
• RQ4 能否将量子效应（如随机粒子运动）解释为形变时空几何的几何后果？
• RQ5 世界函数 σ 在定义几何对象和关系时，如何实现对度量约束的独立性？

主要发现

• 黎曼几何中平行性的定义导致绝对平行性的缺失，因为多个等价向量可被视为与远距离向量平行，违反唯一性。
• 在黎曼几何中，由于缺乏绝对平行性，导致在描述时空时对非黎曼几何存在排斥，尤其在相对论物理中更为明显。
• 尽管闵可夫斯基时空几何具有均匀性和各向同性，但当形变函数 D(σ_M) ≠ 0 时，无法描述自由粒子的确定性运动，导致世界线呈现随机性。
• 当 D(σ_M) = ℏ/(2bc) 且 σ_M > σ₀ ≈ ℏ/(2bc) 时，所得几何自然包含量子效应，可将非相对论性量子现象解释为几何性质。
• 闵可夫斯基时空中的类时“直线”为一维且退化，而类空“直线”为三维曲面，暗示快子可能无法作为一维轨迹被探测。
• 形变原理允许以一致且 σ-内蕴的方式构建几何，保持绝对平行性，避免黎曼方法中的不一致性。