[论文解读] Deformation quantisation for (-1)-shifted symplectic structures and vanishing cycles

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 12

一句话总结

本文为衍生阿廷 $N$-堆栈上的 $(-1)$-位移辛结构引入了 $E_0$-量化，构建了从量化到德拉姆上同调中形式幂级数的映射。当对偶线丛存在平方根时，建立了自对偶量化与偶次幂级数之间的等价关系，并表明局部化过程可恢复得到消失循环的 perverse 层，从而为唐纳森-托马斯不变量提供了导出范畴化。

ABSTRACT

We formulate a notion of $E_0$ quantisation of $(-1)$-Poisson structures on derived Artin $N$-stacks, and construct a map from $E_0$ quantisations of $(-1)$-shifted symplectic structures to power series in de Rham cohomology. For a square root of the dualising line bundle, this gives an equivalence between even power series and self-dual quantisations. In particular, there is a canonical quantisation of any such square root, which localises to recover the perverse sheaf of vanishing cycles on derived DM stacks, thus giving a form of derived categorification of Donaldson--Thomas invariants.

研究动机与目标

• 为衍生阿廷 $N$-堆栈上的 $(-1)$-位移泊松结构制定 $E_0$-量化。
• 构建从 $(-1)$-位移辛结构的 $E_0$-量化到德拉姆上同调中形式幂级数的映射。
• 当对偶线丛存在平方根时，建立自对偶量化与偶次幂级数之间的等价关系。
• 证明在衍生 DM 堆栈上，规范 $E_0$-量化的局部化可恢复得到消失循环的 perverse 层。
• 通过此量化框架，为唐纳森-托马斯不变量提供导出范畴化。

提出的方法

• 将 $E_0$-量化定义为线丛上微分算子环的完备化环中的莫拉-卡蒂尔元素，其上延了 $(-1)$-位移泊松结构。
• 构造从德拉姆代数到 $\mathscr{D}_A[[\hbar]]$ 的 $A_\frown$-同态 $\mu(-,\Delta)$，以定义与预辛结构的相容性。
• 通过条件 $\mu(\omega,\Delta) \simeq \hbar^2 \frac{\partial \Delta}{\partial \hbar}$ 引入幂级数 $\omega$ 与 $E_0$-量化 $\Delta$ 之间的相容性。
• 利用 $\hbar$-进滤子完备化与 $\mathscr{D}_X$ 上的阶滤子，将非退化量化问题约化为一阶问题。
• 借助格罗滕迪克–维尔迪埃对偶性，在 $\mathscr{L}$ 为对偶线丛 $\omega_X$ 的平方根时，定义自对偶量化。
• 应用量子主方程与 $BV_\infty$-代数结构，将结果推广至 $(-2)$-位移辛结构及更高位移情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为衍生阿汀 $N$-堆栈上的 $(-1)$-位移辛结构制定 $E_0$-量化？
• RQ2 $E_0$-量化与德拉姆上同调中形式幂级数之间存在何种关系？
• RQ3 线丛 $\mathscr{L}$ 的自对偶性如何影响 $E_0$-量化空间？
• RQ4 规范 $E_0$-量化是否可通过局部化恢复得到消失循环的 perverse 层？
• RQ5 该框架如何为唐纳森-托马斯不变量提供导出范畴化？

主要发现

• 在任意衍生 $(-1)$-位移辛堆栈上，其对偶线丛的任意平方根均存在规范的 $E_0$-量化。
• 自对偶 $E_0$-量化空间在自然下同构于 $\hbar^2 \mathrm{H}^1_{\mathrm{dR}}(X)\llbracket \hbar^2 \rrbracket$。
• 相容性条件 $\mu(\omega,\Delta) \simeq \hbar^2 \frac{\partial \Delta}{\partial \hbar}$ 确保非退化量化对应于预辛结构。
• 在 $\hbar$ 处的规范 $E_0$-量化局部化可恢复得到衍生 DM 堆栈上的消失循环 perverse 层 $\mathcal{P}\mathcal{V}$。
• 对于 $(-2)$-位移辛结构，通过 $BV_\infty$-代数与量子主方程可将构造推广。
• 由于 $E_{n+1}$-操作符的正式性，该构造可推广至 $n \geq -2$ 的 $n$-位移辛结构，其中自对偶量化对应于 $\hbar^2$ 的偶次幂级数。