[论文解读] Deformation quantization of gerbes

Paul Bressler, Alexander Gorokhovsky+2 more|ArXiv.org|Dec 6, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文利用微分graded李代数（DGLA）建立了gerbe的形变量子化理论，表明gerbe的形变由通过gerbe的上同调类扭曲的Hochschild上链复形构造的DGLA的Maurer-Cartan元分类。关键结果是对辛流形上gerbe的形变量子化的完整分类，其障碍与第一Rozansky-Witten类及gerbe曲率类的上同调条件相关。

ABSTRACT

This is the first in a series of articles devoted to deformation quantization of gerbes. Here we give basic definitions and interpret deformations of a given gerbe as Maurer-Cartan elements of a differential graded Lie algebra (DGLA). We classify all deformations of a given gerbe on a symplectic manifold, as well as provide a deformation-theoretic interpretation of the first Rozansky-Witten class.

研究动机与目标

• 将Kontsevich和Fedosov的结果从代数和层推广到叠和gerbe，实现高阶范畴结构的形变量子化。
• 为流形上（特别是辛流形上）gerbe的形变提供基于DGLA的分类框架。
• 将第一Rozansky-Witten类解释为将典范叠形变至代数层的障碍。
• 将$C^\infty$与全纯辛流形的形变量子化分类结果推广至gerbe情形。
• 通过余单纯DGLA与总化构造，建立gerbe、扭曲Hochschild上链复形与形变理论之间的联系。

提出的方法

• 使用由带系数的De Rham-Sullivan形式与扭曲矩阵代数的局部Hochschild上链复形构成的DGLA的Maurer-Cartan元对叠的形变进行分类。
• 证明控制gerbe形变的DGLA与流形的Hochschild上链复形（由gerbe的上同调类扭曲） quasi-isomorphic。
• 采用余单纯DGLA形式化处理下降数据，且形变的同构类在底层DGLA的拟同构下保持不变。
• 对辛流形上形变的分类依赖于对Fedosov方法的适应，利用联络与曲率条件控制量子化存在的条件。
• 喷射代数形式用喷射丛与典范平坦联络替代层论上同调，使DGLA微分获得几何解释。
• 关键技术步骤是将闭链替换为同调类以消除过渡项，将分类问题简化为具有微分$d_{\text{DR}} + \delta + i_R$的DGLA的Maurer-Cartan问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在同伦代数框架下将形变量子化从代数与层推广至gerbe与叠？
• RQ2 将全纯辛流形相关的典范叠形变为代数层的障碍是什么？
• RQ3 gerbe的上同调类（特别是其曲率）如何影响辛流形上形变量子化的存在性与分类？
• RQ4 gerbe的形变量子化分类能否简化为DGLA中的Maurer-Cartan问题？若能，该DGLA的结构如何？
• RQ5 第一Rozansky-Witten类在阻碍典范叠形变量子化与代数层同构中起什么作用？

主要发现

• 任何叠的形变均由与关联扭曲矩阵代数的局部Hochschild上链复形系数的De Rham-Sullivan形式构成的DGLA的Maurer-Cartan元分类。
• 控制gerbe形变的DGLA与流形的Hochschild上链复形（由gerbe的上同调类扭曲）quasi-isomorphic。
• 对于辛流形上的gerbe，形变量子化存在的充要条件是边界类$\partial c$在$H^3(M, \mathbb{C})$中的像为零，或等价地，gerbe类在$H^2(M, \mathcal{O}_M / \mathbb{C})$中的投影$R$为零。
• 当$R = 0$时，形变的同构类集合与空间$\text{Def}(M, \omega)$一一对应，推广了Fedosov对$C^\infty$与全纯辛流形的分类结果。
• 第一Rozansky-Witten类被识别为典范叠形变量子化与代数层同构的障碍。
• 喷射形式表明，形变的DGLA由$A^\bullet(M, C^{\bullet+1}(J_M, J_M)) \otimes \mathfrak{m}$给出，微分为$\nabla_{\text{can}} + \delta + i_R$，其中$R$是代表gerbe类的曲率形式。