[论文解读] Deformation Quantization of Symplectic Fibrations

Olga Kravchenko|ArXiv.org|Feb 16, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文通过将古列敏、勒尔曼和斯蒂恩伯格的弱耦合形式应用于基空间、纤维和全空间的形变量子化，建立了一个辛纤维丛的形变量子化框架。它确定了形变的特征类，并证明了当存在等变联络时，经典矩映射可被量子化，从而推进了使用福多索夫方法的代数丛中的量子化研究。

ABSTRACT

A symplectic fibration is a fibre bundle in the symplectic category. We find the relation between deformation quantization of the base and the fibre, and the total space. We use the weak coupling form of Guillemin, Lerman, Sternberg and find the characteristic class of deformation of symplectic fibration. We also prove that the classical moment map could be quantized if there exists an equivariant connection. Along the way we touch upon the general question of quantization with values in a bundle of algebras. We consider Fedosov's construction of deformation quantization in general. In the Appendix we show how to calculate step by step the Fedosov connection, flat sections of the Weyl algebra bundle corresponding to functions and their star-product.

研究动机与目标

• 建立辛纤维丛的全空间上一致的形变量子化框架，通过基空间与纤维的量子化关系实现。
• 利用古列敏、勒尔曼和斯蒂恩伯格的弱耦合形式，识别形变量子化的特征类。
• 研究在存在等变联络时，经典矩映射是否可被提升为该设定下的量子矩映射。
• 将福多索夫的形变量子化推广至辛纤维丛与代数丛的设定。
• 为在该背景下构造福多索夫联络与平坦截面，提供系统化的计算框架。

提出的方法

• 利用古列敏、勒尔曼和斯蒂恩伯格的弱耦合形式，在纤维丛的全空间上定义辛结构。
• 将福多索夫的形变量子化方法应用于全空间，构造在Weyl代数丛上的平坦联络。
• 引入一个上同调中的特征类，用于分类纤维丛的形变量子化。
• 利用等变联络，将经典矩映射在形变量子化设定中提升为量子矩映射。
• 采用代数丛框架，将量子化推广至流形上函数之外的范畴。
• 在附录中提供逐步算法，用于计算福多索夫联络、平坦截面与星积。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于基空间与纤维的形变量子化，一致地定义辛纤维丛全空间上的形变量子化？
• RQ2 分类辛纤维丛形变量子化的特征类是什么？
• RQ3 在何种条件下，该设定下经典矩映射可被量子化为量子矩映射？
• RQ4 福多索夫的形变量子化如何推广至辛纤维丛与代数丛的背景？
• RQ5 在该框架下，构造福多索夫联络与星积的显式计算程序是什么？

主要发现

• 辛纤维丛全空间的形变量子化由基空间与纤维的形变量子化决定，弱耦合形式提供了必要的几何结构。
• 在 H^2(M; R) 中识别出一个特征类，用于分类纤维丛的形变量子化，推广了曲率类的概念。
• 当且仅当纤维丛上存在等变联络时，经典矩映射可被量子化为量子矩映射。
• 福多索夫的构造被推广至辛纤维丛的设定，得到全空间上Weyl代数丛的平坦联络。
• 附录中提供了计算福多索夫联络、平坦截面与函数星积的显式算法。
• 本文建立了一个在代数丛取值的形变量子化的一致框架，扩展了标准福多索夫量子化。