[论文解读] Deformation theory and rational homotopy type

Mike Schlessinger, Jim Stasheff|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 74

一句话总结

本文建立了一套基于形变理论的框架，用于通过 $L_∞$-代数对有理同伦类型进行分类，表明具有固定上同调的有理同伦类型构成一个模空间，该模空间可被表示为扰动的锥状代数簇关于拟幂零群作用的商。关键贡献在于将该模空间与一个微分分次余代数的路径分支联系起来，通过 $L_∞$-控制将有理同伦理论与形变理论统一起来。

ABSTRACT

We regard the classification of rational homotopy types as a problem in algebraic deformation theory: any space with given cohomology is a perturbation, or deformation, of the "formal" space with that cohomology. The classifying space is then a "moduli" space --- a certain quotient of an algebraic variety of perturbations. The description we give of this moduli space links it with corresponding structures in homotopy theory, especially the classification of fibres spaces with fixed fibre F in terms of homotopy classes of maps of the base B into a classifying space constructed from the monoid of homotopy equivalences of F to itself. We adopt the philosophy, later promoted by Deligne in response to Goldman and Millson, that any problem in deformation theory is "controlled" by a differential graded Lie algebra, unique up to homology equivalence (quasi-isomorphism) of dg Lie algebras. Here we extend this philosophy further to control by sh-Lie-algebras.

研究动机与目标

• 将有理同伦类型的分类重新表述为代数形变理论的问题。
• 证明具有固定上同调的有理同伦类型的模空间是锥状代数簇关于拟幂零群作用的商。
• 将形变问题的控制从微分分次李代数（DGLAs）推广至 $L_\infty$-代数。
• 通过统一的代数几何框架，统一纤维丛与有理同伦类型的分类。

提出的方法

• 使用微分分次交换代数（dgcas）建模有理同伦类型，特别是 Sullivan-Tate 分解与滤子模型。
• 将形式空间的扰动表示为满足 Maurer-Cartan 方程 $(d+p)^2 = 0$ 的度数为 1 的导子，其中 $p$ 至少将分解度降低 2。
• 使用标准构造 $C(L)$ 将微分分次李代数 $L$ 关联到一个微分分次余代数，从而通过余代数映射研究同伦类型。
• 应用主同伦定理，将余代数映射的同伦类与扰动的规范等价类联系起来。
• 通过 $L_\infty$-代数控制形变问题，推广 Deligne 以及 Goldman-Millson 的 DGLA 控制哲学。
• 将上同调代数 $\mathcal{H}$ 的极小普遍形变构造为形式幂级数环关于该模型的导子代数的微分分次李代数上同调的商。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将有理同伦类型的分类重述为形变理论问题？
• RQ2 $L_\infty$-代数在控制有理同伦类型形变空间中扮演何种角色？
• RQ3 具有固定上同调代数 $\mathcal{H}$ 的有理同伦类型的模空间如何作为扰动代数簇的商而出现？
• RQ4 具有固定纤维 $F$ 的纤维丛的分类空间与有理同伦类型的模空间之间存在何种关系？
• RQ5 哪些微分分次李代数可表示为 $\operatorname{Der} \pi / \operatorname{ad} \pi$ 的形式，其中 $\pi$ 是一个自由微分分次李代数？

主要发现

• 具有固定上同调代数 $\mathcal{H}$ 的有理同伦类型集合同构于商 $V/G$，其中 $V$ 是扰动的锥状有理代数簇，$G$ 是一个拟幂零群。
• 有理同伦类型的模空间被识别为一个微分分次余代数的路径分支集合，从而将拓扑分类与代数几何联系起来。
• 对于固定纤维 $F$，有理纤维丛 $F \to E \to B$ 的分类对应于映射 $B \to B\operatorname{Aut}(F)$ 的同伦类，其分类空间由 $\operatorname{Der}(F)$ 构造而成。
• 当 $F = S^\nu$ 且 $\nu$ 为奇数时，普遍纤维丛为 $S^\nu \to E \to K(\mathbb{Q}, \nu+1)$，且 $E$ 可缩；当 $\nu$ 为偶数时，$H(E)$ 不同构于作为代数的 $H(B) \otimes H(F)$。
• 在 $S^2$-纤维丛覆盖 $K(\mathbb{Q}, 4)$ 上，横截映射非零，且 $E$ 的上同调同构于 $S(x)$，表明 $H(E)$ 是 $H(B) \otimes H(F)$ 的形变。
• 对于 $F = S^{2n} \vee S^{2n}$ 且 $B = S^3 \times (\mathbb{C}P^\infty)^r$，具有上同调 $H(F) \otimes H(B)$ 的有理同伦类型空间同构于 $V / GL(r)$，其中 $V$ 是 $r$ 个变量中次数为 $2n-2$ 的齐次多项式空间。