[论文解读] Deformation Theory (lecture notes)

M. Doubek, Martin Markl+1 more|ArXiv.org|May 25, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 12

一句话总结

本文全面介绍了形变理论，重点阐述了Maurer-Cartan方程在分类代数结构形变中的作用。它建立了 $L_∞$-Maurer-Cartan 方程解的模空间的同伦不变性，并对 Kontsevich 的形式性定理给出了概念性概述，该定理通过多向量场与多微分算子之间的 $L_∞$-拟同构，证明了泊松流形的形变量子化的存在性。

ABSTRACT

First three sections of this overview paper cover classical topics of deformation theory of associative algebras and necessary background material. We then analyze algebraic structures of the Hochschild cohomology and describe the relation between deformations and solutions of the corresponding Maurer-Cartan equation. In Section 6 we generalize the Maurer-Cartan equation to strongly homotopy Lie algebras and prove the homotopy invariance of the moduli space of solutions of this equation. In the last section we indicate the main ideas of Kontsevich's proof of the existence of deformation quantization of Poisson manifolds.

研究动机与目标

• 为结合代数、李代数及其上同调基础提供一个自包含的形变理论入门。
• 在微分分次李代数和 $L_∞$-代数的背景下，建立形变与 Maurer-Cartan 方程解之间的对应关系。
• 解释 $L_∞$-Maurer-Cartan 方程解的模空间的同伦不变性。
• 概述 Kontsevich 使用形式性定理证明泊松流形形变量子化的思路。
• 将泊松结构的模空间与多向量场的 Maurer-Cartan 空间，以及星积的模空间与多微分算子的模空间联系起来。

提出的方法

• 利用结合代数的经典形变理论与 Hochschild 上同调，将无穷小形变与上同调类联系起来。
• 在微分分次李代数中应用 Maurer-Cartan 方程，以分类形式形变，其中解参数化形变数据。
• 将 Maurer-Cartan 方程推广至 $L_∞$-代数，引入高阶括号与同伦一致性条件。
• 通过 $L_∞$-拟同构证明解的模空间的同伦不变性，表明等价的 $L_∞$-代数产生等价的形变模空间。
• 构造两个 $L_∞$-代数：$\mathfrak{g}^\prime$ 为流形 $M$ 上多向量场的分次李代数，$\mathfrak{g}^{\prime\prime}$ 为 $C^\infty(M)$ 上多微分算子的微分分次李代数。
• 通过配置空间积分与上同调技术，证明 Kontsevich 的形式性定理：自然映射 $f_1$ 从多向量场到多微分算子可延拓为 $L_\infty$-拟同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Maurer-Cartan 方程的解如何分类结合代数的形变？
• RQ2 $L_\infty$-代数在将 Maurer-Cartan 形式化推广至同伦一致形变理论中起什么作用？
• RQ3 解的模空间对 $L_\infty$-拟同构的同伦不变性如何体现？
• RQ4 在形变量子化的背景下，形式性定理有何重要意义？
• RQ5 在 Kontsevich 的方法中，多向量场与多微分算子如何通过 $L_\infty$-拟同构关联？

主要发现

• 结合代数形变的模空间由其 Hochschild 上链复中的 Maurer-Cartan 方程解所控制。
• 通过 $L_\infty$-拟同构，建立了 $L_\infty$-Maurer-Cartan 方程解的模空间的同伦不变性。
• 光滑流形 $M$ 上多向量场的分次李代数通过 Maurer-Cartan 方程的解参数化泊松结构。
• $C^\infty(M)$ 上多微分算子的微分分次李代数通过 Maurer-Cartan 方程的解参数化星积。
• Kontsevich 的形式性定理在多向量场的 $L_\infty$-代数与多微分算子的微分分次李代数之间建立了 $L_\infty$-拟同构。
• 形式性映射的线性部分 $f_1$ 是上同调同构，而完整的 $L_\infty$-结构将其延拓为拟同构，从而证明了任意泊松流形上形变量子化的存在性。