[论文解读] Deformation theory of bialgebras, higher Hochschild cohomology and formality

Rafael J. L. Morcillo, Sinan Yalin|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 54被引用 11

一句话总结

本文通過cobar構造，建立了微分graded雙代數的形變理論與E2-代數之間的推導等價關係，證明cobar構造的高階Hochschild複形攜帶自然的E3-代數結構，從而控制雙代數的形變。該工作解決了Gerstenhaber-Schack關於雙代數形變複形的E3-結構的猜想，並證明了Kontsevich對對稱雙代數的E3-形式性猜想，從而為同倫李雙代數的Etingof-Kazhdan形變量子化提供了新的、與結合子無關的證明。

ABSTRACT

A first goal of this paper is to precisely relate the homotopy theories of bialgebras and $E_2$-algebras. For this, we construct a conservative and fully faithful $\infty$-functor from pointed conilpotent homotopy bialgebras to augmented $E_2$-algebras which consists in an appropriate "cobar" construction. Then we prove that the (derived) formal moduli problem of homotopy bialgebras structures on a bialgebra is equivalent to the (derived) formal moduli problem of $E_2$-algebra structures on this "cobar" construction. We show consequently that the $E_3$-algebra structure on the higher Hochschild complex of this cobar construction, given by the solution to the higher Deligne conjecture, controls the deformation theory of this bialgebra. This implies the existence of an $E_3$-structure on the deformation complex of a dg bialgebra, solving a long-standing conjecture of Gerstenhaber-Schack. On this basis we solve a long-standing conjecture of Kontsevich, by proving the $E_3$-formality of the deformation complex of the symmetric bialgebra. This provides as a corollary a new proof of Etingof-Kazdhan deformation quantization of Lie bialgebras which extends to homotopy dg Lie bialgebras and is independent from the choice of an associator. Along the way, we establish new general results of independent interest about the deformation theory of algebraic structures, which shed a new light on various deformation complexes and cohomology theories studied in the literature.

研究动机与目标

• 透過推導cobar構造，建立微分graded雙代數與E2-代數之間精確的同倫理論等價關係。
• 證明一個雙代數的cobar構造的高階Hochschild複形自然攜帶E3-代數結構。
• 解決長期存在的Gerstenhaber-Schack關於微分graded雙代數形變複形的E3-結構的猜想。
• 證明對稱雙代數的形變複形的E3-形式性，從而解決Kontsevich的E3-形式性猜想，並由此獲得Etingof-Kazhdan形變量子化的新證明（無需選擇結合子）。
• 透過描述其相關的推導形式模空間問題，澄清文獻中各種形變複形的作用。

提出的方法

• 在0-連通的同倫結合代數與具零元的cogroup-like微分graded余代數之間構造bar-cobar伴隨關係，並在點化的cogroup-like同倫余結合余代數之間建立此關係。
• 利用cobar構造定義從連通的增廣cogroup-like同倫雙代數到增廣E2-代數的全faithful ∞-函子。
• 應用高階Deligne猜想的解法，為cobar構造的高階Hochschild複形賦予E3-代數結構。
• 建立雙代數結構的推導形式模空間問題與cobar構造上E2-代數結構的推導形式模空間問題之間的等價關係。
• 應用Lurie對形式模空間問題的分類理論，將Gerstenhaber-Schack複形中的Maurer-Cartan元素與李雙代數結構的形變聯繫起來。
• 利用En-操作族在n ≥ 3時的形式性，證明對稱雙代數形變複形的E3-形式性。

实验结果

研究问题

• RQ1 微分graded雙代數的形變理論是否透過cobar類構造與E2-代數的形變理論對應？
• RQ2 一個雙代數的cobar構造的高階Hochschild複形是否自然攜帶E3-代數結構？
• RQ3 Gerstenhaber-Schack猜想：微分graded雙代數的形變複形是否與E3-代數 quasi-isomorphic？
• RQ4 Kontsevich猜想：對稱雙代數的形變複形是否作為E3-代數形式性成立？
• RQ5 Etingof-Kazhdan形變量子化是否可透過E3-形式性在不選擇結合子的情況下被恢復？

主要发现

• 本文透過cobar構造，構造了一個從點化的cogroup-like同倫雙代數到增廣E2-代數的保守且全faithful ∞-函子。
• 同倫雙代數結構的推導形式模空間問題與cobar構造上E2-代數結構的推導形式模空間問題等價。
• dg雙代數的cobar構造的高階Hochschild複形攜帶自然的E3-代數結構，該結構控制原始雙代數的形變理論。
• 證明了對稱雙代數形變複形的E3-形式性，從而解決了Kontsevich的猜想。
• 透過E3-形式性定理，獲得Etingof-Kazhdan對同倫李雙代數形變量子化的全新、與結合子無關的證明。
• 證明了對稱雙代數的Gerstenhaber-Schack複形與對應李雙代數形變複形之間的quasi-isomorphism，透過Hochschild上同調上的L∞-代數結構實現。