[论文解读] Deformations of Azumaya algebras

Paul Bressler, Alexander Gorokhovsky+2 more|ArXiv.org|Sep 20, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文在微分几何或复解析流形上的光滑函数代数与阿兹马亚代数的霍赫希尔德上链复形之间建立了规范的拟同构，表明其形变理论通过微分 graded 李代数（DGLA）导出范畴中的拟同构链而等价。关键结果是在 DGLA 的导出范畴中，结构层的 Dolbeault-Hochschild 复形与阿兹马亚代数的复形之间存在一个规范同构，将孔茨耶维奇的形变定理推广至非交换几何设置。

ABSTRACT

In this paper we compute the deformation theory of a special class of algebras, namely of Azumaya algebras on a manifold ($C^{\infty}$ or complex analytic).

研究动机与目标

• 建立阿兹马亚代数的形变理论与流形上光滑函数代数的形变理论之间的等价性。
• 通过构造其霍赫希尔德复形之间的拟同构链，将孔茨耶维奇的形变定理推广至阿兹马亚代数。
• 证明阿兹马亚代数的形变理论由一个与多重向量场 DGLA 拟同构的 DGLA 控制，通过导出范畴中的规范构造实现。
• 将结果推广至复解析流形和具有复可积分布的实流形，使用 Dolbeault 型复形。

提出的方法

• 在阿兹马亚代数的霍赫希尔德复形与光滑或全纯函数结构层的复形之间，于 DGLA 的导出范畴中构造一个规范同构。
• 利用余迹映射，并通过选择联络与曲率，定义涉及 Dolbeault 形式与霍赫希尔德上链的 DGLA 之间的拟同构。
• 应用余切算子的指数映射 $\exp(\iota_F)$ 以校正非交换微分，确保在非平凡曲率下仍保持拟同构。
• 利用拟同构的复合与选择无关的性质，确保该同构在导出范畴中是规范的。
• 利用丛与代数堆的结构，将阿兹马亚代数的形变理论与控制代数层形变的 DGLA 联系起来。
• 通过验证其在上同调上诱导同构，利用 Dolbeault 复形与霍赫希尔德上同调的性质，证明所得 DGLA 同态是拟同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $C^\infty$ 流形上，阿兹马亚代数的形变理论是否与光滑函数结构层的形变理论拟同构？
• RQ2 能否通过导出范畴中 DGLA 的规范拟同构链，将孔茨耶维奇的形变定理推广至阿兹马亚代数？
• RQ3 在复解析流形上，阿兹马亚代数的形变理论是否可通过 Dolbeault-Hochschild 复形描述？
• RQ4 复可积分布的存在如何影响阿兹马亚代数的形变理论？
• RQ5 余迹映射在构造相关代数的霍赫希尔德复形之间的规范拟同构中起什么作用？

主要发现

• 对于 ${\mathcal{O}}_{X/{\mathcal{P}}}$-阿兹马亚代数 ${\mathcal{A}}$，在 DGLA 的导出范畴中，存在一个规范同构，连接 $\Omega^{\bullet}_{X}\otimes_{{\mathcal{O}}_{X}}\overline{C}^{\bullet}({\mathcal{O}}_{X}\otimes_{{\mathcal{O}}_{X/{\mathcal{P}}}}{\mathcal{J}}_{X/{\mathcal{P}}})[1]$ 与 $\Omega^{\bullet}_{X}\otimes_{{\mathcal{O}}_{X}}C^{\bullet}({\mathcal{O}}_{X}\otimes_{{\mathcal{O}}_{X/{\mathcal{P}}}}{\mathcal{J}}({\mathcal{A}}))[1]$。
• 该同构在构造中与选择无关，因此在导出范畴中是规范的。
• 该结果可推广至复解析流形以及具有复可积分布的实流形，在这些情形下控制形变的 DGLA 是 Dolbeault-Hochschild 复形。
• 阿兹马亚代数的形变理论由一个与结构层霍赫希尔德复形拟同构的 DGLA 控制，通过一系列拟同构链实现。
• 余迹映射诱导出结构层的 Dolbeault 复形与阿兹马亚代数的霍赫希尔德复形之间的拟同构，且在同伦意义下保持 DGLA 结构。
• 推论 35 在导出范畴中建立了 $\overline{C}^{\bullet}({\mathcal{O}}_{X/{\mathcal{P}}})$ 与 $C^{\bullet}({\mathcal{A}})$ 之间的规范同构，确认了形变理论的等价性。