[论文解读] Deformations of chiral algebras

Dimitri Tamarkin|ArXiv.org|Apr 15, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 10

一句话总结

本文利用pro-*-李代数发展了chiral代数的形变理论，证明形变复形的上同调自然携带一个c-Gerstenhaber代数结构——即Gerstenhaber代数的chiral类比。关键结果是一个形式性猜想，将chiral代数$SK$的形变与coisson括号联系起来，通过pro-*-李代数的完美拟同构，暗示形变与coisson结构之间存在一一对应关系。

ABSTRACT

We start studying chiral algebras (as defined by A. Beilinson and V. Drinfeld) from the point of view of deformation theory. First, we define the notion of deformation of a chiral algebra on a smooth curve $X$ over a bundle of local artinian commutative algebras on $X$ equipped with a flat connection (whereas `usual' algebraic structures are deformed over a local artinian algebra) and we show that such deformations are controlled by a certain *-Lie algebra $\mathfrak g$. Then we try to contemplate a possible additional structure on $\mathfrak g$ and we conjecture that this structure up to homotopy is a chiral analogue of Gerstenhaber algebra, i.e. a coisson algebra with odd coisson bracket (in the terminology of Beilinson-Drinfeld). Finally, we discuss possible applications of this structure to the problem of quantization of coisson algebras.

研究动机与目标

• 通过使用pro-*-李代数而非普通李代数，将形变理论推广至chiral代数。
• 在chiral代数形变复形的上同调上定义Gerstenhaber代数结构的chiral类比。
• 提出chiral代数的形式性猜想，以建立形变与coisson括号之间的双射关系。
• 为chiral代数背景下coisson代数的量子化提供上同调框架。
• 将Kontsevich的形式性定理推广至smooth曲线上的chiral代数与D-模的设定。

提出的方法

• 在具有平坦联络的幂零${\rm D}_X$-代数上定义chiral代数$M$的形变。
• 引入pro-*-李代数${\bf def}_M$作为控制$M$-形变的形变复形。
• 利用chiral运算$[\cdot,\cdot]$在$H_M[-1]$上构造一个*-李括号，并在上同调上定义一个上杯积$\cup_h$。
• 通过联系括号与上杯积的Leibniz恒等式$f = e + e^T$定义c-Gerstenhaber代数结构。
• 利用$P_*$上的操作符结构与$!$-张量积，定义chiral运算及其复合。
• 提出形式性猜想：$\mathbf{def}_{SK}$与$H_{SK}$是完美拟同构的，从而暗示coisson括号与形变之间存在双射关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用pro-*-李代数而非标准李代数来表述chiral代数的形变理论？
• RQ2 chiral代数形变复形的上同调上会自然出现何种代数结构？
• RQ3 能否定义Gerstenhaber代数结构的chiral类比？其与chiral运算之间有何关系？
• RQ4 是否存在类似于Kontsevich的形式性猜想，可将$SK$的形变与coisson括号联系起来？
• RQ5 若$\mathbf{def}_{SK}$与$H_{SK}$之间存在完美拟同构，是否能诱导出coisson括号与chiral代数形变之间的1-1对应关系？

主要发现

• chiral代数的形变pro-*-李代数的上同调自然携带一个c-Gerstenhaber代数结构。
• $H_M[-1]$上的上杯积$\cup_h$是结合且交换的，使得$(H_M)^l[-1]$成为一个${\cal D}_X$-交换代数。
• chiral括号与上杯积满足Leibniz恒等式：$f = e + e^T$，其中$f$为括号，$e$为上杯积与括号的复合。
• 当$M = (SK)^r$时，$H_M$上的上杯积与对称代数$S(K^\lor[-1] \oplus K)$上的自然乘法一致。
• $G = (K^\lor[-1] \oplus K)^r$上的*-李括号仅在$K \boxtimes K^\lor[-1]$上非零，其表达式为由对偶配对$K^\lor \otimes K \to \omega_X$给出的典范配对。
• 形式性猜想提出$\mathbf{def}_{SK}$与$H_{SK}$是完美拟同构的；若该猜想成立，则可诱导出$SK \otimes A$上$A$-线性coisson括号的同构类与$A$上$SK$的形变的同构类之间的双射关系（模$\mathfrak{m}_A$后消失）。