[论文解读] Deformations of Coisotropic Submanifolds in Abstract Jacobi Manifolds

Hông Vân Lê, Yong‐Geun Oh+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 8

一句话总结

该论文利用联络代数和非平凡线丛上的首阶多微分微分学，为任意雅可比流形中的共变子流形构造了一个 $L_\infty$-代数。该构造推广了辛几何、泊松几何以及局部共形辛几何中的已知 $L_\infty$-代数，并提供了一个统一的框架，涵盖接触流形——该框架控制共变子流形（包括传奇子流形）的形式形变理论。

ABSTRACT

In this paper, using the Atiyah algebroid and first order multi-differential calculus on non-trivial line bundles, we attach an $L_\infty$-algebra to any coisotropic submanifold $S$ in an abstract (or Kirillov's) Jacobi manifold. Our construction generalizes and unifies analogous constructions in symplectic, Poisson case, and locally conformal symplectic geometry. As a new special case, we attach an $L_\infty$-algebra to any coisotropic submanifold in a contact manifold, including Legendrian submanifolds. The $L_\infty$-algebra of a coisotropic submanifold $S$ governs the (formal) deformation problem of $S$.

研究动机与目标

• 将辛几何与泊松几何中关于共变子流形的现有 $L_\infty$-代数构造推广到更广泛的抽象雅可比流形设定中。
• 在单一代数结构下统一辛几何、泊松几何与局部共形辛几何中的形变理论框架。
• 通过为共变子流形（包括传奇子流形）构造 $L_\infty$-代数，将理论扩展至接触流形。
• 利用非平凡线丛上的几何数据导出的 $L_\infty$-代数，为共变子流形提供形式形变理论。

提出的方法

• 利用共变子流形上非平凡线丛相关的联络代数，编码几何与无穷小对称性。
• 应用线丛上的首阶多微分微分学，构造 $L_\infty$-代数的高阶括号。
• 利用流形的雅可比结构及其在子流形上诱导的结构，定义 $L_\infty$-代数结构。
• 通过联络代数与雅可比括号的相容性，确保 $L_\infty$-代数满足广义雅可比恒等式。
• 将 $L_\infty$-代数构造成一个形式形变复形，以控制共变子流形形变模空间。
• 证明该构造在辛几何与泊松几何中退化为已知情形，从而确认其一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在代数上形式化抽象雅可比流形中共变子流形的形变问题？
• RQ2 如何将辛几何与泊松几何中 $L_\infty$-代数构造推广至基洛罗夫的雅可比流形设定？
• RQ3 该理论能否扩展至包含接触流形，特别是传奇子流形的情形？
• RQ4 非平凡线丛的联络代数如何贡献于共变子流形上的 $L_\infty$-代数结构？
• RQ5 首阶多微分微分学在编码 $L_\infty$-代数的高阶同伦关系中起什么作用？

主要发现

• 利用联络代数与非平凡线丛上的首阶多微分微分学，为任意雅可比流形中的共变子流形构造了 $L_\infty$-代数。
• 该构造推广并统一了辛几何、泊松几何与局部共形辛几何中先前的 $L_\infty$-代数模型。
• 该 $L_\infty$-代数控制共变子流形的形式形变问题，为其模空间提供了同伦理论框架。
• 该框架适用于接触流形，为共变子流形（包括传奇子流形）提供了 $L_\infty$-代数。
• 所得 $L_\infty$-代数结构与已知情形一致，通过退化到经典几何验证了构造的正确性。
• 使用非平凡线丛及其相关微分学，确保构造捕捉了超越局部模型的全局几何数据。