[论文解读] Deformations of Compact Cayley Submanifolds with Boundary

Matthias Ohst|arXiv (Cornell University)|May 30, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文研究了在具有 Spin(7)-结构的8-流形中，具有边界的紧致 Cayley 子流形的形变。研究证明，在对 Spin(7)-结构或边界子流形 W 的一般扰动下，此类子流形是刚性的，即形变模空间在一般结构下为有限（可能为空）。分析基于一个二阶椭圆边界问题，以控制形变空间。

ABSTRACT

Let M be an 8-manifold with a Spin(7)-structure. We first show that closed Cayley submanifolds of M form a smooth moduli space for a generic Spin(7)-structure. Then we study the deformations of a compact, connected Cayley submanifold X of M with non-empty boundary contained in a given submanifold W of M such that X and W meet orthogonally. We show that they are rigid for a generic Spin(7)-structure. We further show that they are also rigid for a generic deformation of W.

研究动机与目标

• 研究具有非空边界的紧致 Cayley 子流形在具有 Spin(7)-结构的 8-流形中的形变理论。
• 分析当边界被约束在固定子流形 W 上时（且 X 与 W 正交相交）形变的行为。
• 在对 Spin(7)-结构或 W 的扰动下，建立此类形变的通用刚性结果。
• 将 McLean 对闭 Cayley 子流形的形变理论推广至边界情形，使用二阶椭圆边界问题。

提出的方法

• 将形变问题表述为一个二阶椭圆边界值问题，证明在一般条件下其指标为零且解空间光滑。
• 一个关键技术结果是将形变的模空间嵌入该边界问题的解空间中，从而保证 Zariski 切空间的有限维性。
• 利用横截性论证证明了通用性定理，表明对于一般附近的 Spin(7)-结构或 W 的形变，模空间是有限的。
• 分析依赖于将 McLean 对闭 Cayley 子流形的框架扩展至边界情形，适应一阶边界问题缺乏椭圆性的特点。
• 论文利用 G₂-流形中的关联子流形与相关 Spin(7)-流形中 Cayley 子流形之间的对应关系，将结果与关联情形中已知的刚性结果联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有边界的紧致 Cayley 子流形在 Spin(7)-流形中允许非平凡形变？
• RQ2 当对 Spin(7)-结构进行一般扰动时，此类形变的模空间如何行为？
• RQ3 当边界约束子流形 W 也被一般地变化时，模空间会发生什么？
• RQ4 形变问题能否表述为椭圆边界问题？相关算子的指标是多少？

主要发现

• 对于一般的附近 Spin(7)-结构，边界位于 W 上且与 W 正交相交的 Cayley 子流形的模空间是有限的（可能为空），表明其具有刚性。
• 形变的模空间被嵌入一个指标为零的二阶椭圆边界问题的解空间中，从而保证了 Zariski 切空间的有限维性。
• 在首阶设定下，形变问题不具有椭圆性，因此必须使用二阶形式化，这与共协子流形理论中使用的方法类似。
• 即使在边界子流形 W 也经历一般形变时，刚性依然成立，意味着这些子流形不仅对固定的 W 是刚性的，对一般的 W 也是如此。
• 结果将 McLean 对闭 Cayley 子流形的理论推广至边界情形，表明通用性导致模空间有限。
• G₂-流形中关联子流形与相关 Spin(7)-流形中 Cayley 子流形之间的对应关系，使得关联子流形的刚性可推出 Cayley 子流形的类似刚性。