[论文解读] Deformations of convex real projective manifolds and orbifolds

Suhyoung Choi, Gye‐Seon Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 74被引用 6

一句话总结

本文综述了闭流形与轨道上凸实射影结构的形变理论，重点关注有限生成群——特别是富克斯群、3-流形群和考克斯eter群——到 PGL_{d+1}(R) 的表示。研究结果表明，此类结构的空间，尤其是在三维情形下，可能表现出超越双曲几何的非平凡形变；关键成果显示，某些闭合双曲3-流形在 SL_4(R) 中存在非刚性形变，而另一些则表现出无穷小刚性。

ABSTRACT

In this survey, we study representations of finitely generated groups into Lie groups, focusing on the deformation spaces of convex real projective structures on closed manifolds and orbifolds, with an excursion on projective structures on surfaces. We survey the basics of the theory of character varieties, geometric structures on orbifolds, and Hilbert geometry. The main examples of finitely generated groups for us will be Fuchsian groups, 3-manifold groups and Coxeter groups.

研究动机与目标

• 通过表示理论理解闭流形与轨道上凸实射影结构的形变空间。
• 研究在 PGL_{d+1}(R) 中是否存在保持适当凸区域的非双曲、离散且忠实的表示。
• 分析双曲3-流形基本群的特征簇的局部结构，特别是在 SL_4(R) 中的情形。
• 确定闭合双曲3-流形或轨道在凸射影结构空间中存在非平凡形变的条件。
• 探讨无穷小刚性与相对刚性在德恩填充与边界形变中的作用。

提出的方法

• 将特征簇用作有限生成群到 PGL_{d+1}(R) 的表示的参数空间。
• 应用希尔伯特几何研究离散群保持的适当凸区域上的内在度量。
• 采用上同调技术，特别是 H^1 和 H^2，分析无穷小形变与障碍。
• 利用科尚和贝诺依斯特定理证明 Ben(M) 中的表示是离散、忠实且保持凸区域的。
• 通过映射 H^1(M, g)_ρ → H^1(∂M, g)_ρ 应用相对无穷小刚性，研究德恩填充。
• 采用计算方法（浮点运算）分析霍奇森-伍克斯普查中4500个双曲3-流形的特征簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，闭流形上凸实射影结构的空间包含超越双曲结构的形变？
• RQ2 一个闭合双曲3-流形是否能存在非共轭的、离散且忠实的 SL_4(R) 表示，且保持一个适当凸区域？
• RQ3 哪些特征描述了相对于边界具有无穷小刚性的有限体积双曲3-流形？
• RQ4 不同3-流形在特征簇 χ(Γ, SL_4(R)) 的双曲点处的局部结构如何变化？
• RQ5 是否存在拓扑不变量可检测一个双曲3-流形的德恩填充是否可形变或为刚性？

主要发现

• 在所研究的4500个双曲3-流形中，4439个具有平凡的一阶上同调（H^1 = 0），表明在双曲点处具有局部刚性。
• 九个流形具有非平凡的扎里斯基切空间但无可积形变，表明存在高阶奇点。
• 四十三个流形具有光滑的一维形变族，七个具有光滑的二维形变族。
• 一个流形具有奇异的三维形变簇，包含两个沿曲线相交的三维分支。
• 图8结补体与怀特黑德链补体相对于边界是无穷小刚性的。
• 许多相对于边界为刚性的双曲3-流形的德恩填充本身也是无穷小刚性的；而某些具有刚性经线的互反性纽结则允许可形变的填充。