[论文解读] Deformations of Fuchsian equations and logarithmic connections

Szilárd Szabó|ArXiv.org|Mar 8, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过Hodge理论与对数联络模空间中的拉格朗日叶状结构，提供了Fuchs方程中附属参数数量的几何证明。该证明表明，固定局部单值群情况下，其形变空间的维数等于相关局部系统模空间维数的一半。通过在对数联络的无穷小形变空间上构造一个权1的Hodge结构，本文将Fuchs形变识别为该Hodge结构的(1,0)-部分，确认Hitchin映射在这些形变上为平态且单射，并证明了Ohtsuki关于Fuchs方程最大可及奇点数的猜想，进一步构造了联络模空间的拉格朗日叶状结构。

ABSTRACT

We give a geometric proof to the classical fact that the dimension of the deformations of a given generic Fuchsian equation without changing the semi-simple conjugacy class of its local monodromies (``number of accessory parameters'') is equal to half the dimension of the moduli space of deformations of the associated local system. We do this by constructing a weight 1 Hodge structure on the infinitesimal deformations of logarithmic connections, such that deformations as an equation correspond to the $(1,0)$-part. This answers a question of Nicholas Katz, who noticed the dimension doubling mentioned above. We then show that the Hitchin map restricted to deformations of the Fuchsian equation is a one-to-one etale map. Finally, we give a positive answer to a conjecture of Ohtsuki about the maximal number of apparent singularities for a Fuchsian equation with given semisimple monodromy, and define a Lagrangian foliation of the moduli space of connections whose leaves consist of logarithmic connections that can be realised as Fuchsian equations having apparent singularities in a prescribed finite set.

研究动机与目标

• 几何解释为何Fuchs方程中附属参数的数量等于其关联局部系统模空间维数的一半。
• 解决Nicholas Katz提出的问题：Fuchs方程形变中维数加倍现象的成因。
• 证明Ohtsuki关于具有半单单值群的Fuchs方程最大可及奇点数的猜想。
• 构造对数联络模空间的拉格朗日叶状结构，其叶对应于具有预设可及奇点的Fuchs方程。
• 证明当限制在Fuchs方程的形变空间时，Hitchin映射为单射且平态。

提出的方法

• 在对数联络的无穷小形变空间上构造一个权1的Hodge结构。
• 将Fuchs方程的形变识别为该Hodge结构的(1,0)-部分。
• 通过微分算子的修正相伴矩阵形式，定义在P¹上的全纯向量丛上的对数联络。
• 在Fuchs方程的解与对数联络的平行截面之间建立双射对应。
• 通过维数计数与连续性论证，证明可及奇点与真实奇点的条件相互独立。
• 通过分析规范变换与极点行为，证明Hitchin映射在Fuchs方程形变空间上为平态且单射。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何Fuchs方程中附属参数的数量等于其关联局部系统模空间维数的一半？
• RQ2 当限制在Fuchs方程的形变空间时，Hitchin映射是否为平态且单射？
• RQ3 对于给定半单单值群的Fuchs方程，其最大可及奇点数是多少？
• RQ4 能否将对数联络的模空间叶状化为对应于具有固定可及奇点的Fuchs方程的拉格朗日叶？
• RQ5 在何种条件下，两个N元组的可及奇点在联络模空间中定义同一子簇？

主要发现

• 在固定半单单值群的条件下，Fuchs方程形变空间的维数恰好等于其关联局部系统模空间维数的一半。
• 可及奇点提供的独立条件数为Nm(m+1)/2，且这些条件与来自真实奇点的(n+1)m−1个条件相互独立。
• 具有预设可及奇点a₁,…,a_N的Fuchs方程空间E_{a₁,…,a_N}的维数为1−m²+m(m−1)(n+1)/2，与预期值e一致。
• 当限制在Fuchs方程的形变空间时，Hitchin映射为单射且平态。
• 对应于具有e个可及奇点的Fuchs方程的子簇M_{a₁,…,a_e}是模空间M的拉格朗日子簇。
• 可及奇点的轨迹在全纯规范变换下保持不变，意味着叶M_{a₁,…,a_e}在Hodge分解的(1,0)-部分下被保持。