[论文解读] Deformations of generalized calibrations and compact non-Kahler manifolds with vanishing first Chern class

J. Gutowski, Stefan Ivanov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文研究了在结构群为 U(n)、SU(n)、G₂ 和 Spin(7) 的黎曼流形中的一般化校准，采用其仿射联络具有挠率且其 holonomy 保持这些群的度量联络。证明了此类校准子流形的模空间是有限维的，并构造了显式例子，包括 Hopf 纤维丛和紧致非凯勒流形，其 Bismut 联络具有 SU(n) holonomy，从而将卡拉比-丘流形推广至非凯勒设定之外。

ABSTRACT

We investigate the deformation theory of a class of generalized calibrations in Riemannian manifolds for which the tangent bundle has reduced structure group U(n), SU(n), G_2 and Spin(7). For this we use the property of the associated calibration form to be parallel with respect to a metric connection which may have non-vanishing torsion. In all these cases, we find that if there is a moduli space, then it is finite dimensional. We present various examples of generalized calibrations that include almost hermitian manifolds with structure group U(n) or SU(n), nearly parallel G_2 manifolds and group manifolds. We find that some Hopf fibrations are deformation families of generalized calibrations. In addition, we give sufficient conditions for a hermitian manifold (M,g,J) to admit Chern and Bismut connections with holonomy contained in SU(n). In particular we show that any connected sum of $k \geq 3$ copies of $S^3 imes S^3$ admits a hermitian structure for which the restricted holonomy of a Bismut connection is contained in SU(3).

研究动机与目标

• 研究具有约化结构群的黎曼流形中一般化校准的形变理论，包括 U(n)、SU(n)、G₂ 和 Spin(7)。
• 分析在一般化校准下校准子流形的模空间，证明当形变系统为椭圆型时，其模空间为有限维。
• 构造具有平凡第一陈类的紧致非凯勒流形的显式例子，其上存在具有 SU(n) holonomy 的 Bismut 或 Chern 联络。
• 通过识别 Bismut 联络具有 SU(n) holonomy 的充分条件，将卡拉比-丘定理推广至非凯勒殆复流形。

提出的方法

• 使用具有非零挠率的度量联络，其 holonomy 约化至 U(n)、SU(n)、G₂ 或 Spin(7)，并利用非必然闭合的平行校准形式。
• 应用一般化校准的形变理论，证明相关微分系统为椭圆型，从而推出模空间为有限维。
• 分析能量泛函 E(Z) = Vol(Z) − ∫_Z ψ 的二阶变分，以研究校准子流形的稳定性。
• 通过李群流形、齐性空间和复结构构造显式例子，包括复 Heisenberg 群及其紧致商。
• 在殆复流形上使用 Bismut 和 Chern 联络，计算其 holonomy 和曲率，以验证 SU(n) 约化。
• 利用 Aeppli 上同调与 Michelsohn 的刻画，确定平衡结构及 Bismut 联络的 Ricci-平坦条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个殆复流形会存在其 holonomy 包含于 SU(n) 的 Bismut 联络？
• RQ2 具有挠率度量联络的流形中，一般化校准子流形的模空间结构如何？
• RQ3 是否存在具有平凡第一陈类的紧致殆复非凯勒流形，其上存在具有 SU(n) holonomy 的 Bismut 联络？
• RQ4 Hopf 纤维丛是否作为具有约化 holonomy 的流形中的一族一般化校准出现？
• RQ5 对于一个殆复流形，其充分条件为何，可使其为平衡结构并存在 Ricci-平坦 的 Bismut 联络？

主要发现

• 当形变系统为椭圆型时，一般化校准子流形的模空间为有限维，该条件对所有考虑的 holonomy 群均成立。
• 复 Iwasawa 流形（Heisenberg 群的紧致商）尽管为非凯勒流形，仍存在其 holonomy 包含于 SU(3) 的 Bismut 联络。
• 在 Iwasawa 流形上，(0,3)-形式 ψ = α₁ ∧ α₂ ∧ α₃ 关于 Chern 与 Bismut 联络均为平行，证实其具有 SU(3) holonomy。
• Iwasawa 流形中由 Killing 向量场 e₃ 生成的一族 1 参数实 3 维子流形，构成 SAS 校准的形变族。
• 任意 k ≥ 3 个 S³ × S³ 的连通和均存在殆复结构，使得 Bismut 联络的限制 holonomy 包含于 SU(3)。
• 任意具有平凡第一陈类与上同调凯勒条件的紧致 2n 维殆复流形，均存在殆复结构，使得其 Bismut 联络为 Ricci-平坦。