[论文解读] Deformations of holomorphic pseudo-symplectic Poisson manifolds

Ziv Ran|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了弱P-正则复 Poisson 流形的无阻碍形变——即在具有轻微奇点的除子上退化的 Poisson 结构的紧致 Kähler 流形。通过微分分次李代数与混合 Hodge 理论，证明了所有 Poisson 形变均为无阻碍的，将无阻碍性结果推广至 del Pezzo 曲面的 Hilbert 模间及其具有对数辛结构的其他例子。

ABSTRACT

We prove unobstructed deformations for compact Kaehlerian even-dimensional Poisson manifolds whose Poisson tensor degenerates along a divisor with mild singularities. Examples include Hilbert schemes of del Pezzo surfaces.

研究动机与目标

• 建立 Poisson 张量沿具有轻微奇点的除子退化的全纯 Poisson 流形的无阻碍形变理论。
• 将无阻碍性结果从辛和 Fano 情况推广至更广泛的伪辛 Poisson 结构类。
• 为配备诱导 Poisson 结构的 del Pezzo 曲面的 Hilbert 模间提供形变理论框架。
• 阐明 Poisson 形变与退化除子的局部平凡形变之间的关系。
• 引入并研究弱 P-正则性这一概念，作为具有受控奇点的 Poisson 结构中 P-正则性的自然推广。

提出的方法

• 通过退化点集 Pf^k(Π) 的余维条件及分支的横截性，引入弱 P-正则性的概念。
• 将微分分次李代数（dgla）技术应用于具有对数奇点的切丛 T_X⟨log D⟩。
• 利用 Deligne 的 E1-退化性和 Cartan 公式，证明 H^2(Ω^{n-1}_X⟨log D⟩) 中障碍配对的消失。
• 依赖于 Kähler 流形上反Canonical 除子 D 满足 T_X ≅ Ω^{n-1}_X(D) 的同构关系，将 Poisson 几何与对数几何联系起来。
• 通过沿退化点集旗的迭代爆破，分析 Pfaffian 除子及其整体提升的结构。
• 计算 P-正则 Poisson 结构的显式局部正规形，并验证其与弱 P-正则性的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全纯 Poisson 结构的退化除子 D 满足何种条件时，其完整的 Poisson 形变空间是无阻碍的？
• RQ2 当 D 为具有正常交叉但不光滑的约化除子时，能否建立 Poisson 形变的无阻碍性？
• RQ3 对偶对 (X,D) 的局部平凡形变在多大程度上可提升为 (X,Π,D) 的 Poisson 形变？
• RQ4 退化点集的何种精确几何条件可确保 Poisson 形变空间中的无阻碍性？
• RQ5 配备诱导 Poisson 结构的 del Pezzo 曲面的 Hilbert 模间是否满足无阻碍 Poisson 形变理论？

主要发现

• 对于任意弱 P-正则 Poisson 流形 (X,Π)，完整的 Poisson 形变空间 Def(X,Π) 是光滑的，从而证明了无阻碍形变。
• Poisson 形变 (X,Π) 在 Pfaffian 除子 D 上诱导出局部平凡形变，且 (X,D) 的每种此类局部平凡形变均可提升为 (X,Π,D) 的形变。
• 从三元组 (X,Π,D) 的形变空间到 Def(X,Π) 和 Def_loc.trivial(X,D) 的遗忘态射均为光滑的。
• 当反Canonical 曲线光滑时，该结果适用于 del Pezzo 曲面的 Hilbert 模间 S^{[r]}，从而得到无阻碍 Poisson 形变。
• P-正则 Poisson 结构具有局部正规形，包含 x_i ∂/∂x_i ∧ ∂/∂y_i 项与标准辛项，且在 D 的光滑点处余秩恰好为 2。
• 本文表明 P-正则性蕴含弱 P-正则性，并为将无阻碍性结果推广至具有奇异 Pfaffian 除子的更广泛 Poisson 流形类提供了框架。