[论文解读] Deformations of Lie brackets: cohomological aspects

Marius Crainic, Ieke Moerdijk|ArXiv.org|Mar 25, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文引入了一种新的李代数胚的上同调理论——形变上同调，该理论通过微分分次李代数（dgla）控制其李括号的形变。研究证明该上同调控制形变，作用于代数胚的德拉姆上同调，并在消失时蕴含刚性，推广了经典李代数形变理论，且无需依赖伴随表示。

ABSTRACT

We introduce a new cohomology for Lie algebroids, and prove that it provides a differential graded Lie algebra which ``controls'' deformations of the structure bracket of the algebroid. We also have a closer look at various special cases such as Lie algebras, Poisson manifolds, foliations, Lie algebra actions on manifolds.

研究动机与目标

• 开发一种控制李代数胚括号形变的上同调理论，以克服一般情形下缺乏伴随表示的限制。
• 构建一个控制李代数胚形变理论的微分分次李代数（dgla），类似于经典李代数形变理论。
• 将新引入的形变上同调与李代数胚已知的上同调联系起来，特别是证明其对代数胚德拉姆上同调的作用。
• 在上同调消失条件下证明李代数胚的刚性结果，推广已知的紧致李群和泊松结构的结果。
• 建立李代数胚结构与对偶丛上线性泊松结构之间的对应关系，从而通过泊松上同调实现上同调的重新解释。

提出的方法

• 将形变复形 $ C_{\text{def}}^*(A) $ 定义为李代数胚 $ A $ 的截面上的多重线性反对称多导子的空间。
• 通过涉及李括号和截面括号交替求和的尼延胡伊斯-肖滕型公式，为复形赋予上边界算子 $ \delta $。
• 证明 $ (C_{\text{def}}^*(A), \delta) $ 构成一个微分分次李代数（dgla），其上同调即为形变上同调 $ H^*_{\text{def}}(A) $。
• 利用李代数胚结构与线性泊松结构之间的对应关系，建立 $ H^*_{\text{def}}(A) $ 与对偶丛 $ A^\vee $ 的线性泊松上同调 $ H^*_{\pi,\text{lin}}(A^\vee) $ 之间的同构。
• 使用 $ \text{lin} $-范畴框架推广范·埃斯特同构，并证明正则与作用代数胚的刚性结果。
• 证明 $ H^2_{\text{def}}(A) $ 消失蕴含李代数胚的刚性，从而推广经典李代数理论中的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏伴随表示的情形下，如何控制李代数胚的形变理论？
• RQ2 何种适当的上同调理论能控制李代数胚中李括号的形变？
• RQ3 形变上同调如何与已知的上同调（如代数胚的德拉姆上同调）相关联？
• RQ4 在何种条件下 $ H^2_{\text{def}}(A) $ 的消失蕴含李代数胚结构的刚性？
• RQ5 能否利用对偶丛 $ A^\vee $ 上的线性泊松结构来表征并计算代数胚的形变上同调？

主要发现

• 形变上同调 $ H^*_{\text{def}}(A) $ 同构于对偶丛 $ A^\vee $ 的线性泊松上同调 $ H^*_{\pi,\text{lin}}(A^\vee) $，建立了李代数胚形变与泊松几何之间的深刻联系。
• 李代数胚上括号的形变由 $ H^2_{\text{def}}(A) $ 中的类分类，推广了李代数的契瓦莱-艾伦贝格上同调。
• 形变上同调作用于代数胚的德拉姆上同调，为形变理论对几何不变量的自然作用提供了依据。
• $ H^2_{\text{def}}(A) $ 消失蕴含李代数胚的刚性，即不存在非平凡形变，推广了经典刚性结果。
• 对于具有恰当且2-单连通积分群胚的李代数胚，猜想 $ H^2_{\text{def}}(A) = 0 $ 在正则与作用代数胚情形下已得证明。
• $ \text{lin} $-范畴框架使得通过将范·埃斯特型同构推广至线性群胚与代数胚，从而潜在地证明刚性猜想成为可能。