[论文解读] Deformations of modified $r$-matrices and cohomologies of related algebraic structures

Jun Jiang, Yunhe Sheng|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2022

Advanced Topics in Algebra参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文为修正的 $r$-矩阵引入了一种上同调理论，并基于该框架发展了三种变形理论——代数、几何与线性——。它建立了一个微分分次李代数来控制代数变形，通过上同调的消失证明了刚性与光滑性条件，并引入了用于平凡线性变形的 Nijenhuis 元素。主要结果包括对变形的上同调表征，以及在李理论中对匹配对与相容泊松结构的应用。

ABSTRACT

Modified $r$-matrices are solutions of the modified classical Yang-Baxter equation, introduced by Semenov-Tian-Shansky, and play important roles in mathematical physics. In this paper, first we introduce a cohomology theory for modified $r$-matrices. Then we study three kinds of deformations of modified $r$-matrices using the established cohomology theory, including algebraic deformations, geometric deformations and linear deformations. We give the differential graded Lie algebra that governs algebraic deformations of modified $r$-matrices. For geometric deformations, we prove the rigidity theorem and study when is a neighborhood of a modified $r$-matrix smooth in the space of all modified $r$-matrix structures. In the study of trivial linear deformations, we introduce the notion of a Nijenhuis element for a modified $r$-matrix. Finally, applications are given to study deformations of complement of the diagonal Lie algebra and compatible Poisson structures.

研究动机与目标

• 使用由诱导李代数 $\mathfrak{g}_R$ 导出的 Chevalley-Eilenberg 复形，为修正的 $r$-矩阵建立上同调理论。
• 在统一的上同调框架下，研究修正的 $r$-矩阵的代数、几何与线性变形。
• 建立一个控制代数变形的微分分次李代数，以实现 Deligne-Drinfeld-Kontsevich 的口号。
• 通过 $H^2(R)$ 与 $H^3(R)$ 的消失，证明几何变形的刚性与光滑性定理。
• 为平凡线性变形引入 Nijenhuis 元素的概念，并将其与 $\mathfrak{g}_R$ 上的 Nijenhuis 算子联系起来。

提出的方法

• 将修正的 $r$-矩阵 $R$ 的上同调定义为李代数 $\mathfrak{g}_R$ 以 $\mathfrak{g}$ 为系数的 Chevalley-Eilenberg 上同调，其中 $[x,y]_R = [R(x),y]_\mathfrak{g} + [x,R(y)]_\mathfrak{g}$。
• 利用上同调复形与分次李括号，构造一个控制 $R$ 的代数变形的微分分次李代数（DGLA）。
• 通过轨道方法分析几何变形 $R_t$，将轨道 $\mathrm{Orb}_R$ 的切空间识别为 2-上边界空间 $B^2(R)$。
• 使用 Kuranishi 映射刻画 2-上循环能诱导几何变形的充要条件。
• 定义线性变形 $R_t = R + t\hat{R}$，并通过满足 $\mathrm{ad}_x$ 是 $\mathfrak{g}_R$ 上 Nijenhuis 算子的元素 $x \in \mathfrak{g}$ 来识别平凡变形。
• 将该理论应用于两个场景：$\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}$ 中补子的变形，以及 $\mathfrak{g}^*$ 上的相容泊松结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为修正的 $r$-矩阵定义上同调理论，其与 Rota-Baxter 算子上同调的关系是什么？
• RQ2 控制修正的 $r$-矩阵代数变形的微分分次李代数是什么？
• RQ3 在何种上同调条件下，修正的 $r$-矩阵在所有此类结构的空间中是刚性或局部光滑的？
• RQ4 Nijenhuis 元素在分类修正的 $r$-矩阵的平凡线性变形中起什么作用？
• RQ5 修正的 $r$-矩阵的变形如何在对偶空间 $\mathfrak{g}^*$ 上诱导出相容的泊松结构？

主要发现

• 修正的 $r$-矩阵 $R = \mathrm{Id} + 2B$ 的上同调同构于相应权为 1 的 Rota-Baxter 算子 $B$ 的上同调。
• 修正的 $r$-矩阵 $R$ 的代数变形由一个微分分次李代数控制，证实了普遍的变形理论口号。
• 若 $H^2(R) = 0$，则 $R$ 在几何变形下是刚性的；若 $H^3(R) = 0$，则修正的 $r$-矩阵空间在 $R$ 附近是光滑流形。
• 当且仅当通过 Kuranishi 映射满足 Kuranishi 条件时，2-上循环 $\hat{R}$ 才能诱导出几何变形。
• 线性变形 $R_t = R + t\hat{R}$ 是平凡的，当且仅当 $\hat{R}$ 对应于一个 Nijenhuis 元素 $x \in \mathfrak{g}$，且 $\mathrm{ad}_x$ 是 $\mathfrak{g}_R$ 上的 Nijenhuis 算子。
• 对任意 $t_1, t_2 \in \mathbb{R}$，$\mathfrak{g}^*$ 上的泊松结构 $\{\cdot,\cdot\}_{R_{t_1}}$ 与 $\{\cdot,\cdot\}_{R_{t_2}}$ 是相容的，因为 $R_{t_1} + R_{t_2}$ 也是修正的 $r$-矩阵。