[论文解读] Deformations of reducible representations of knot groups into $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$

Michael Heusener, Ouardia Medjerab|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文研究了结群到 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$ 的可约、幂零表示的形变，证明当 $\lambda^2$ 是亚历山大多项式的单次根，且对所有 $2 \leq k \leq n-1$ 有 $\Delta_K(\lambda^{2k}) \neq 0$ 时，相关表示 $\rho_{\lambda,n}^z = r_n \circ \rho_\lambda^z$ 是 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-表示簇的光滑点，并位于唯一一个维度为 $(n+2)(n-1)$ 的连通分支中，该连通分支包含不可约形变。

ABSTRACT

Let $K$ be a knot in $S^3$ and $X$ its complement. We study deformations of non-abelian, metabelian, reducible representations of the knot group $π\_1(X)$ into $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$ which are associated to a simple root of the Alexander polynomial. We prove that certain of these metabelian reducible representations are smooth points of the $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-representation variety and that they have irreducible deformations.

研究动机与目标

• 研究结群到 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$ 的可约、幂零表示的形变理论。
• 确定此类表示为 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-表示簇的光滑点的条件。
• 建立这些表示存在不可约形变的条件。
• 通过 $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$ 的 $n$-维不可约表示，将 $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$ 的结果推广到更高秩的 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$。

提出的方法

• 利用 $n$-维不可约有理表示 $r_n: \mathrm{SL}(2,\mathbf{C}) \to \mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$，将来自 $\mathrm{SL}(2,\mathbf{C})$ 的幂零表示提升至 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$。
• 分析上同调 $H^1(\Gamma_K; \mathfrak{sl}(n,\mathbf{C})_{\rho_{\lambda,n}^z})$ 以确定 $\rho_{\lambda,n}^z$ 处切空间的维数。
• 应用上同调准则验证 $\rho_{\lambda,n}^z$ 是表示簇的光滑点。
• 通过生成元的特征空间的格拉斯曼流形参数化，构造 $R_6(\Gamma_{3_1})$ 中一个 $42$-维连通分支。
• 利用舒尔引理将结群中心的像限制为 $\mathrm{SL}(6,\mathbf{C})$ 中的标量矩阵。
• 借助计算机支持的计算验证 $\dim H^1(\Gamma_{3_1}; \mathfrak{sl}(6)_{\rho_{\lambda,6}^z}) = 42$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$R(\Gamma_K, \mathrm{SL}(n,\mathbf{C}))$ 中的可约幂零表示 $\rho_{\lambda,n}^z$ 是光滑点？
• RQ2 此类表示在何时允许不可约形变？
• RQ3 包含 $\rho_{\lambda,n}^z$ 的不可约连通分支的维度是多少？
• RQ4 当 $\lambda^2$ 是亚历山大多项式的单次根时，该条件如何影响高阶表示的形变理论？
• RQ5 能否显式构造包含 $\rho_{\lambda,n}^z$ 的连通分支，并证明其包含不可约表示？

主要发现

• 当 $\lambda^2$ 是亚历山大多项式的单次根，且对所有 $2 \leq k \leq n-1$ 有 $\Delta_K(\lambda^{2k}) \neq 0$ 时，表示 $\rho_{\lambda,n}^z$ 是 $\mathrm{SL}(n,\mathbf{C})$-表示簇的光滑点。
• 表示 $\rho_{\lambda,n}^z$ 位于唯一一个维度为 $(n+2)(n-1)$ 的连通分支 $R_{\lambda,n}$ 中。
• 对于三叶结 $3_1$，表示簇 $R_6(\Gamma_{3_1})$ 包含一个 $42$-维连通分支 $C$，该连通分支包含 $\rho_{\lambda,6}^z$ 和一般不可约表示。
• $H^1(\Gamma_{3_1}; \mathfrak{sl}(6)_{\rho_{\lambda,6}^z})$ 的上同调群维数恰好为 $42$，确认了 $\rho_{\lambda,6}^z$ 的光滑性。
• 连通分支 $C$ 的构造依赖于在格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}(3,6)$ 和 $\mathrm{Gr}(2,6)$ 中选取一般特征子空间，从而得到一个 $42$-维表示族。
• $\rho_{\lambda,6}^z$ 不共轭于对角表示，且其轨道位于对角表示 $\rho_{\lambda,6}$ 的轨道的闭包中。